Gleichungssystem Lagrange lösen

Question

1. \( \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=x_{2}^{0.5}-2 \lambda=0 \)
2. \( \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=0.5 x_{1} \cdot x_{2}^{-0.5}-4 \lambda=0 \)
3. \( \frac{\partial L}{\partial \lambda}=2 x_{1}+4 x_{2}-8=0 \)

Kann mir jemand helfen, das Gleichungssystem zu lösen. Geht um Nutzenmaximierung und Lagrange. Es kommt am Ende x1 =8/3 und x2= 2/3 heraus

Answer 1

Aloha :)

Aus den ersten beiden Bedingungen folgt:$$\left\{\begin{array}{c}x_2^{0,5}&=2\lambda\\0,5x_1x_2^{-0,5}&=4\lambda\end{array}\right\}\implies\frac{x_2^{0,5}}{0,5x_1x_2^{-0,5}}=\frac{2\lambda}{4\lambda}\implies\frac{2x_2}{x_1}=\frac12\implies\pink{x_1=4x_2}$$

Das setzt du nun in die dritte Bedinung ein:$$8=2\pink{x_1}+4x_2=2\cdot\pink{4x_2}+4x_2=12x_2\implies x_2=\frac23\pink{\implies} x_1=\frac83$$

Comments

Ich verstehe nicht, wie du auf 2x_2 / x_1 gekommen bist. Und warum das gleich 1/2 sein soll.

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$$\frac{x_2^{0,5}}{\pink{0,5}x_1\color{blue}x_2^{-0,5}}=\frac{2\lambda}{4\lambda}\implies\frac{x_2^{0,5}\cdot\color{blue} x_2^{0,5}}{\pink{\frac12}x_1}=\frac{2\,\cancel\lambda}{4\,\cancel\lambda}=\frac24=\frac12\implies$$$$\frac{x_2}{\frac12x_1}=\frac12\implies x_2=\frac12\cdot\frac12x_1=\frac{x_1}{4}\implies x_1=4x_2$$

Answer 2

Stelle (1) nach λ um und ersetze damit λ in Gleichung (2).

Stelle dann (2) nach x_1 um und setze das in (3) ein.

Damit hat (3) nur noch x_1 als Unbekannte.

Comments

Ja Dankeschön.