Lagrange Gleichungssystem lösen

Question

Aufgabe:

L(r,s,t,λ)= 1/2*r*(80-r)+1/2*s(120-s)+1/2*t(100-t)+λ(80-2r-s-3t)

1) L_r= 40-r-2λ = 0

2) L_s=60-s-λ = 0

3) L_t=50-t-3λ = 0

4) Lλ=80-2r-s-3t = 0

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe weiß ich leider nicht, wie ich am einfachsten und schnellsten das Gleichungssystem lösen soll, sodass ich Werte für die Variablen erhalte. Dieses Problem habe ich ziemlich oft, könnte mir daher jemand bitte schrittweise erklären, wie ich am besten vorgehen sollte und es mir vorrechnen?

Answer 1

40-r-2λ = 0    ==>  40-2λ = r
60-s-λ = 0      ==>   60- λ  = s 
50-t-3λ = 0    ==>   50-3λ = t

alles einsetzen in 
80-2r-s-3t = 0   gibt

80-2(40-2λ ) - (  60- λ ) -3*(    50-3λ)  = 0

      gibt   λ  = 15.

Oben einsetzen ergibt  r=10   s=45   t=5.

Answer 2

Löse die partiellen Ableitungen mal in Abhängigkeit des Lagrange Faktors auf

r = 40 - 2·λ

s = 60 - λ

t = 50 - 3·λ

Das kannst du jetzt in die Nebenbedingung einsetzen

80 - 2·r - s - 3·t = 0

80 - 2·(40 - 2·λ) - (60 - λ) - 3·(50 - 3·λ) = 0 --> λ = 15

Nun kannst du damit auch deine Variablen lösen.