Bestimmen sie ein Polynom Pn (x) minimalen Grades

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie ein Polynom p_n (x) minimalen Grades so, dass die Funktion f: ℝ → ℝ mit$$f(x)= \begin{cases}4-x^{2} &\text{für } x \le0\\ p_n(x) &\text{für } 0 \lt x\lt 2\\ x &\text{für } x \ge 2\end{cases}$$differenzierbar ist

Wie löse ich diese Aufgabe

Comments

Was bedeutet
⌈ 4-x2 , für x≤0

f(x)= I pn (x) , für 0 < x < 2

    ⌊x, für x ≥ 2 insbesondere die Zeichen ⌈ und ⌊?

Meinst du differenzierbar statt differenzierter?

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Vermutlich soll das eine öffnende geschweifte Klammer bedeuten.

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Ja differenzierbar und eine große geschweifte Klammer über alle drei Terme

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Am Ende Deiner Bemühungen soll etwas in dieser Art herauskommen. Du suchst die Funktion mit der grünen Linie.

Von links nach rechts verläuft der Graph der abschnittsweise definierten Funktion wie folgt: blaue Linie, roter Punkt, grüne Linie, roter Punkt, gelbe Linie.

Answer 1

Du brauchst ein Polynom, mit pn ' (0) = 0   und pn ' (2) = 1

und  pn(0) = 4 und pn(2) = 2 .

Das kannst du dann ja wie eine Steckbriefaufgabe

behandeln. Geht wohl mit Grad 3.

Comments

Müsste nicht auch p_n(0) = 4 und p_n(2) = 2 gelten?

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Und was und wie soll ich machen um die Aufgabe zu lösen

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Müsste nicht auch pn(0) = 4 und pn(2) = 2 gelten?

Ach ja, das hatte ich nicht bedacht.

Danke, ich ergänze das.

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Ich habe jetzt 4 für ≤ 0

0 für 0<x<2

x-2 für x≥2

Answer 2

Damit eine Funktion differenzierbar ist, muss sie in allen Punkten differenzierbar und damit auch stetig sein. Das bedeutet in deinem Fall, das Polynom muss folgende Gleichungen erfüllen:

\(p_n(0)=f(0)=4\)

\(p_n'(0)=f'(0)=0\)

\(p_n(2)=f(2)=2\)

\(p_n'(2)=f'(2)=1\)

Das sind 4 Bedingungen, die erfüllt sein müssen. Das legt nahe, dass das Polynom mindestens den Grad 3 haben muss, weil es dort 4 Unbekannte zu bestimmen gibt. Mache also den Ansatz \(p_n(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), stelle die Gleichungen durch Einsetzen der Bedingungen auf und löse das LGS bspw. mit dem Gauß-Verfahren.

Comments

Ich habe jetzt 4 für ≤ 0

0 für 0<x<2

x-2 für x≥2

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Keine Ahnung, was du da machst. Dein Polynom soll doch nur auf \(0<x<2\) definiert sein.

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Mache es doch so wie empfohlen

\(p_n(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

also \(p_n(x)'=3ax^2+2bx+c\)

\(p_n(0)=4\) ==> \( 0a+0b+0c+d = 4 \) Also schon mal d=4

\(p_n'(0)=0\) ==>  \(  0a+0b+c=0 \)  also  c=0

\(p_n(2)=2\)  ==> \( 8a+4b+2c+d =2\)

      Mit d=4 und c=0 gibt das  \( 8a+4b =-2\)

\(p_n'(2)=1\)==>  \(  12a+4b=1\)  

Jetzt mit   \( 8a+4b =-2\) und \(  12a+4b=1\)

a und b ausrechnen.

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Mit dem LGS darf aber nicht Teil der Lösung sein also ich darf es nicht damit machen

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... also ich darf es nicht damit machen

Das redest Du Dir ein.

Man darf, und man soll.

Es gibt kein Koeffizientenausrechnungsverbot wenn man die Koeffizienten finden soll.

Answer 3

\(f(0)=\red{4}\) 

\(f'(0)=0\)

\(f(2)=2\)

\(f'(2)=1\)

Ich verschiebe den Graph von \(f(x)\)  um   \(\red{4}\)  Einheiten nach unten

\(f(0)=0\)   mit  \(f'(0)=0\) führt zu einer doppelten Nullstelle.

\(f(x)=a\cdot x^2(x-N)\)

\(f(2)=2\)   →  \(f(2)=-2\)

\(f(2)=4a(2-N)\)

\(4a(2-N)=-2\)  →  \(2a(N-2)=1\)  →\(a=\frac{1}{2N-4}\)

\(f(x)=\frac{1}{2N-4}\cdot (x^3-Nx^2)\)

\(f'(x)=\frac{1}{2N-4}\cdot (3x^2-2Nx)\)

\(f'(2)=1\):

\(f'(2)=\frac{1}{2N-4}\cdot (12-4N)\)

\(\frac{1}{2N-4}\cdot (12-4N)=1\)

\(N= \frac{8}{3} \)

\(a=\frac{1}{2 \cdot \frac{8}{3}-4}=\frac{3}{4}\)

\(f(x)=\frac{3}{4}\cdot x^2(x-\frac{8}{3})\)

Nun \(\red{4}\) Einheiten nach oben.

\(p(x)=\frac{3}{4}\cdot x^2(x-\frac{8}{3})+4\)