Klassifikation orthogonaler Abbildungen

Question

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Sei \( A:=\left(\begin{array}{ccc}0 & -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{9}{25} & \frac{12}{25} \\ \frac{3}{5} & \frac{12}{25} & -\frac{16}{25}\end{array}\right) \). Sie dürfen verwenden, dass \( A \in O_{3} \). Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch \( f(\vec{v}):=A \cdot \vec{v} \).
(4 P.) Bestimmen Sie Typ (Drehung? Drehspiegelung?), Achse und den Betrag des Drehwinkels von \( f \).

Wie würde man diese Aufgabe lösen?

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Answer 1

Drehung/Spiegelung:

Orthogonale Matrix ==> A A^T = id

Det(A) = -1 ===> Spiegelung

Drehachse: Eigenvektor zum Eigenwert 1

EW=-1 ===> EV = (0,3,-4) ==> Drehspiegelung

A EV = -EV

Spiegelebene E aus EV als Normalenvektor
E: 3 * y - 4 * z = 0

Drehwinkel z.B: aus der Abbildung eines Punkte Q=(1,4/3,1) in der Ebene

A Q = Q' = (-5 / 3, 4 / 5, 3 / 5)

q q' = |q| |q'| cos(φ)      ===> φ = 90°