Darstellung einer Abbildungsmatrix, Begründung

Question

Aufgabe: Guten Tag alle zusammen. Meine folgende Frage ist ohne direkte Aufgabe, eher verständnistechnisch. Es ist ja so, das die Spalten einer Abbildungsmatrix von Basis B zu Basis C, in Kombination mit einer Abbildungsvorschrift f:V nach W, aus den jeweiligen Bildern von f(B) bestehen bezüglich der neuen Basis C. Natürlich meine ich damit jeweils die Abbildungen bezüglich eines einzelnen Vektors von B und C, ich wollte das so nur verallgemeinern. Ich wollte fragen warum das so ist, da ich mit dem trockenen Beweis in meinem Skript leider keine für mich zufriedenstellend Begrünung gefunden habe.

Möglicherweise ist meine Frage zu ungenau gestellt, aber falls jemand meine Frage nachvollziehen kann, ich freue mich über neue Erkentnisse!

Answer 1

Also ich verstehe deine Frage so:

Wenn du z.B. eine Basis B in einem Vektorraum v hast, etwa (b₁,...,b_n)

und eine Basis C im Vektorraum W, etwa (c₁,...,c_m) dann geben die Spalten

der Abbildungsmatrix A die Faktoren an, mit denen eine Linearkombination

der Basis C das Bild des entsprechenden Basisvektors von B beschreibt.

Eine lineare Abbildung f:V→W ist damit festgelegt. So wäre etwa

f(b₁)=a_1,1*c₁ + a_2,1*c₂ + ... + a_m,1*c_m das Bild des 1. Basisvektors,

wenn \(  \begin{pmatrix} a_{1,1}\\a_{2,1}\\...\\a_{m,1} \end{pmatrix}  \) die erste Spalte der Matrix A ist.

Comments

Erstmal vielen Dank für die Antwort.

also im Grunde sind Spalten der Abbildungsmatrix A aus den Koordinaten des Vektors b1, konstruiert aus einer Linearkombination der Vektoren aus C dargestellt ? Und die jeweiligen Skalare vor den Vektoren c sind die Spalteneinträge ?

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So ist es. Und es ist entweder eine Abbildungsvorschrift gegeben

in der Art \(  f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} )=  \begin{pmatrix} x+2z\\x-y+z \end{pmatrix}  \) oder so.

Dann kannst du daraus die Matrix bestimmen, oder du hast

die Matrix und kannst damit die Bilder von Vektoren bestimmen.