Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl unrunder Bälle in einer Stichprobe von 200 Bällen …

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. 98 % der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund" bezeichnet, die übrigen als „unrund". Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der unrunden Bälle in jeder Stichprobe binomia verteilt ist.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl unrunder Bälle in einer Stichprobe von 200 Bällen kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist.

Problem/Ansatz:

Den Erwartungswert 4 habe ich bereits ausgerechnet, doch wie kann man die Wahrscheinlichkeit ausrechnen? Ein Baumdiagramm würde ja hier kein Sinn machen oder? Ist der Binomialkoeffizient relevant? Und wie erkenne ich das bei Aufgaben?

Comments

Deine Frage lässt vermuten, dass Du Dich noch nicht mit dem Stichwort "Binomial-Verteilung" auseinandergesetzt hast. Wenn das so ist, solltest Du Dein Lehrmaterial dazu durcharbeiten.

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Wir hatten bis jetzt den Binomialkoefiizienten aber keine weiteren Rechnungen wie die von der anderen Antwort hier vermuteten Bernoulli Formel(Die kommt im nächsten Kapitel aber sollte in diesen aufgaben keine rolle spielen). Ich arbeite mit dieser Aufgabe gerade das Thema durch und komme aber auf keine Lösung mit den Methoden, die wir bis jetzt hatten. Vielleicht könntest du mir ja helfen. Wie lasse sich die Warscheinlichkeit ausrechen?

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dass die Anzahl der unrunden Bälle in jeder Stichprobe binomia verteilt ist.

Das das Stichwort "binomialverteilt" in der Aufgabenstellung verwendet wird, wäre diese Aufgabe zu früh gestellt, wenn Ihr das noch nicht besprochen habt. Dann weiß ich auch nicht, wie das gelöst werden soll.

Answer 1

EW = 200*0,02 = 4

Gesucht ist P(X<4).

P(X<4) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 0,431494973162

n= 200, p= 0,02, k = 0,1,2,3

= 0,98^200 + 200*0,2*0,98^199 + (200über2)*0,02^2*0,98^198 + (200über3)*0,02^3*0,98^197

Es geht um Ziehen mit Zurücklegen. Die Grundgesamtheit ist sehr groß, p < 5%.

Es ist nicht bekannt, wieviel unrunde exakt in der Stichprobe enthalten sind. In diesem Fall wäre es Ziehen ohne Zurücklegen, das man mit Baumdiagramm lösen kann oder der hypergeometrischen Verteilung.

Answer 2

Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. 98 % der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund" bezeichnet, die übrigen als „unrund". Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der unrunden Bälle in jeder Stichprobe binomia verteilt ist.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl unrunder Bälle in einer Stichprobe von 200 Bällen kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist.

n = 200 ; p = 0.02

μ = n·p = 200·0.02 = 4

P(X < 4) = P(X ≤ 3) = 0.4315

Das kann man direkt mit der kumulierten Binomialverteilung in den meisten wissenschaftlichen Taschenrechnern berechnen.

Comments

P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Alle 3 Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit den Pfadregeln berechnen.

P(X = 0) = (200 über 0)·0.98^200 = 0.01759
P(X = 1) = (200 über 1)·0.02·0.98^199 = 0.07179
P(X = 2) = (200 über 2)·0.02^2·0.98^198 = 0.14577
P(X = 3) = (200 über 3)·0.02^3·0.98^197 = 0.19635

P(X < 4) = 0.01759 + 0.07179 + 0.14577 + 0.19635 = 0.4315