Question

Seien M, N, P Mengen und f : M → N und g : N → P gegeben. Sei f injektiv.

Beweisen oder widerlegen Sie:
i) Wenn g surjektiv ist, dann ist g ◦ f : M → P injektiv.
ii) Wenn g injektiv ist, dann ist g ◦ f : M → P injektiv.

Problem: Ich weiß nicht, wie man sowas genau beweist.

Mein erster Ansatz für die i) wäre, da f eine injektive Funktion ist, bedeutet g (f (x)) = g (f (y)). Nur weiß ich nicht, was ich damit anfangen soll.

Wäre für jeden Tipp dankbar

Answer 1

Du meinst sicherlich:

f injektiv ==>   Wenn f(x)=f(y) dann x=y.

Für den Teil ii) kannst du also so vorgehen:

Um zu zeigen, dass g ◦ f injektiv ist, musst du nachweisen:

Wenn ( g ◦ f ) (x) = ( g ◦ f ) (y)  dann muss gelten x=y.

Nun heißt ja ( g ◦ f ) (x) = ( g ◦ f ) (y) dasselbe wie g(f(x)) = g(f(y)) .

Da g injektiv ist folgt also f(x) = f(y) und weil f injektiv ist x=y. q.e.d.

Für i) betrachte die Abbildungen

f : ℕ → ℕ und g : ℕ → ℕ mit  f(x) = x für alle x∈ℕ

und g(x) = x/2 wenn x gerade und g(x)=(x+1)/2 wenn x ungerade.

Dann ist offenbar f injektiv und g surjektiv; denn g(1)=1 und g(2)= und g(3)=2 und g(4)=2 ,

also werden immer 2 Zahlen auf den gleichen Wert abgebildet, aber

jede Zahl aus ℕ kommt irgendwann als Funktionswert vor, also g surjektiv.

Allerdings ist g ◦ f nicht injektiv, da 1 und 2 beide auf 1 abgebildet werden.