Matrix-Gruppe Inverse Multiplikation

Question

Unser Dozent hat uns folgende Aufgabe aus HA gegeben und auch schon die Lösung hochgeladen, jedoch verstehe ich die Beweisführung nicht ganz.

Sei \( G \coloneqq \{A\in \R^{2\times2} | \exists B\in \R^{2\times2} \text{ mit } AB=BA=E \} \).

Aufgabe:
Wir bezeichnen \( A^{-1} \) das inverse Element zu der Matrix \( A\in G \). Zeigen Sie, dass für alle \( A,B\in G \) gilt:
\( (A\cdot B)^{-1} = B^{-1}\cdot A^{-1} \).

Lösung:
Es gilt: \( (A\cdot B)\cdot (B^{-1}\cdot A^{-1}) = A\cdot (B\cdot B^{-1})\cdot A^{-1} = A\cdot E\cdot A^{-1} = E \) und \( (B^{-1}\cdot A^{-1})\cdot (A\cdot B) = B^{-1}\cdot (A^{-1}\cdot A)\cdot B = B^{-1}\cdot E\cdot B = E \).
Somit folgt: \( (A\cdot B)^{-1} = B^{-1}\cdot A^{-1} \).

Meine Frage: Ich verstehe, was hier in den Gleichungen gemacht wird, aber nicht, wieso das als Beweis gültig sein soll. Wir multiplizieren die rechte Seite (der z.z. Gleichung) mit (X*Y), mal von rechts, mal von links. Aber warum lassen wir das ^-1 weg?

Viele Grüße

Answer 1

Ersetze \( A \cdot B \) durch \( C \). Was dann gezeigt wird, ist \( C \cdot C^{-1} = E \), wobei für \( C^{-1} \) das Behauptete angesetzt wird.

Answer 2

Hallo,

soweit ich das verstehe: Das Inverse von \((A\cdot B)^{-1}\) ist \(A\cdot B\).
Wenn man nun \(A\cdot B\) mit \(B^{-1}\cdot A^{-1}\) multipliziert (jeweils links und rechtseitig) und zeigt, dass dort die Einheitsmatrix herauskommt, dann hat man gezeigt, dass \(A\cdot B\) das Inverse von \((A\cdot B)^{-1}\) und \(B^{-1}\cdot A^{-1}\) ist und somit gilt: \((A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\).

Gruß

Smitty

Comments

somit gilt: \((A\cdot B)^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}\).

Was aber gar nicht gilt.

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Stimmt, da hatte ich mich vertan. So korrekt?

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Jetzt passt es