Wert der folgenden 2 Grenzwerte berechnen

Question

Ich habe Probleme, die Grenzwerte von

1) $$ \lim\limits_{x\to-\infty} x^3 * e^{-x} $$

2) $$ \lim\limits_{x\to\infty} x * sin(x) $$

zu berechnen.

1) habe ich folgendermaßen probiert: "Exponentiell ist stärker als polynomiell", daher habe ich e betrachtet. Wenn ich da eine minus unendlich einsetze, haben wir e hoch minus minus unendlich, also e hoch unendlich. Das ist doch unendlich (Lsg. ist minus unendlich).

2) habe ich folgendermaßen probiert: Da sin(x) bei x gegen unendlich keinen bestimmten Wert hat, und ich die nächste Aufgabe wo man sin(x) / x (gleicher Limes Wert) berechnen musste (habe ich 0 als Lsg. gehabt, mit der Begründung, dass der Nenner immer größer wird → geht also gegen 0) korrekt hatte, habe ich mir gedacht, dass auch hier eine 0 herauskommt.

Answer 1

x^3 geht für x gegen minus unendlich gegen minus unendlich.

e^(-x) geht für x gegen minus unendlich gegen plus unendlich.

minus unendlich mal plus unendlich sind minus unendlich

x * sin(x)

x geht gegen plus unendlich. sin(x) können wir durch das Intervall [-1 ; 1] abschätzen, sodass x * sin(x) divergiert.

Comments

Alles verstanden, bis auf

sin(x) können wir durch das Intervall [-1 ; 1] abschätzen, sodass x * sin(x) divergiert.

Wie möchte man das denn abschätzen? Da kann zwischen -1 und 1 alles möglich vorkommen!

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Könnte man x * sin(x) auch folgendermaßen lösen: da sin(x) divergiert (also keinen Grenzwert hat) und man es mit x multiplizieren muss, ist es letztendlich egal mit was es multipliziert wird, da bereits der eine Faktor von dem * divergiert

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Du kannst dich doch auf die Stellen beschränken wo -1 und +1 heraus kommt. wenn die Divergieren dann divergiert auch die Funktion.

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Wobei das eigentlich nicht viel Sinn ergeben würde.

sin(x) / x bei x gegen unendlich ist 0. Da divergiert sin(x) doch auch, aber der Term insg. doch nicht!...

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Könnte man x * sin(x) auch folgendermaßen lösen: da sin(x) divergiert (also keinen Grenzwert hat) und man es mit x multiplizieren muss, ist es letztendlich egal mit was es multipliziert wird, da bereits der eine Faktor von dem * divergiert

Nein das geht nicht.

lim (x → ∞) sin(x) * 1/x wäre ja konvergent, obwohl sin(x) divergent ist.

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Du kannst dich doch auf die Stellen beschränken wo -1 und +1 heraus kommt. wenn die Divergieren dann divergiert auch die Funktion.

Wäre beim Sinus Phi/2 und -Phi/2 sowie 3/2 * Phi und -3/2 * Phi

Und wie komme ich jetzt weiter?

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Pi ist etwas anderes als Phi

sin(pi/2 + k·2·pi) = 1 für k ∈ Z

x * 1 ist divergent

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minus unendlich mal plus unendlich sind minus unendlich

Darf man so argumentieren?

Mit oo darf man doch nicht rechnen, oder?

Ich würde sagen:

x^3 wird zu einer sehr großen negativen Zahl, e^x zu einer sehr großen positiven Zahl, sodass das Produkt eine unendliche kleine negative Zahl wird.

lim = -oo für x -> -oo

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Darf man so argumentieren?

Ja. Lies einfach mal in deinen Unterlagen oder im Internet nach.

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Ich lese immer wieder, dass man mit Unendlich nicht rechnen darf, weil der Begriff nicht definiert ist.

Was ist unendlich geteilt durch unendlich? - Quora. Das gibt es einfach nicht. Unendlich ist keine Zahl. Also kann man sie auch nicht teilen, und auch nicht durch sie teilen.07.08.2022

Ich würde mich hier nicht schreiben trauen: -oo*oo = - oo

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Es gibt da durchaus Leute die sich das Trauen:

https://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln

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sin(pi/2 + k·2·pi) = 1 für k ∈ Z

x * 1 ist divergent

Verstehe ich leider immer noch nicht.

Gibt es auf YT gute Videos für die obige (oder ähnliche) Aufgabe?

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Vielleicht hilft dir ein Graph

~plot~ x*sin(x);x;[[-100|100|-100|100]] ~plot~

Du solltest sehen das die Funktionswerte der blauen Funktion beliebig groß und beliebig klein werden können.

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Ja, hat es.

Vielen Dank!

Answer 2

1) habe ich folgendermaßen probiert: "Exponentiell ist stärker als polynomiell", daher habe ich e betrachtet. Wenn ich da eine minus unendlich einsetze, haben wir e hoch minus minus unendlich, also e hoch unendlich. Das ist doch unendlich (Lsg. ist minus unendlich).

Da hast du wohl übersehen, dass der Faktor vorne auch noch einen Beitrag leisten könnte...

Comments

Ach so, stimmt. Vorne würde minus unendlich rauskommen, und beim 2. Faktor unendlich. Also minus mal plus und somit insgesamt eine minus unendlich, korrekt?

Answer 3

Mit der Regel von l´Hospital:

\( \lim\limits_{x\to-\infty} x^3 \cdot e^{-x}= \lim\limits_{x\to-\infty} \frac{x^3 }{ e^{x}} =\lim\limits_{x\to-\infty} \frac{3x^2 }{ e^{x}}= \lim\limits_{x\to-\infty} \frac{6x }{ e^{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty} \frac{6 }{ e^{x}}=-∞ \) 

Comments

Das halte ich für äußerst fragwürdig.

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Damit ich diese Regel anwenden kann, muss doch 0/0 oder unendlich/unendlich vorliegen?

x^3 ergibt minus unendlich (wenn man minus unendlich einsetzt)

e^x allerdings 0 (wenn man minus unendlich einsetzt)

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Hier strebt der zu untersuchende Term gegen \(-\infty\cdot\infty\), was gegen die Regel von Bernoulli-de L’Hospital spricht. Aber es ist ja ohnehin offensichtlich, wo die Reise hingeht...