Lagrange Funktion U(x,y) = 3xy^2. Nichlineare Optimierung: Projekt A kostet 500'000 €, Projekt B kostet 200'000 €.

Question

Aufgabe Optimierung:

Nichtlineare Optimierung: Es stehen 6 Mio. Є zur Verfügung, um Projekte mit dem Ziel der CO_{2}-Einsparung durchzuführen.

Projekt A kostet 500.000 €

Projekt B kostet 200.000 €

Die CO₂-Einsparung ist durch \( U(x, y)=3 x y^{2} \) gegeben.

\( (x= \) Anzahl der Projekte A, \( y= \) Anzahl der Projekte B)

Wie viele Projekte A bzw. B müssen jeweils durchgeführt werden, damit die CO₂-Einsparung möglichst hoch ist und die Summe von 6 Mio. € komplett verausgabt wird? Lösen Sie das entsprechende Optimierungsproblem mit der Lagrange-Methode.

Ansatz/Problem:

die Hauptbedingung ist ja U(x,y) = 3xy²

Nebenbedingung = x+y = 6 Mio (ist die so korrekt?)

dann setzte ich das ein und erhalte die partiellen ableitungen:

nach x = 3y² + lamda = 0

nach y = 3x2y + lamda = 0

nach lamda = x+y - 6 mio = 0

Und hier komme ich nicht weiter.

Comments

Also ich bin in Mathe noch nicht so weit aber die "Nebenbedingung" (was auch immer das ist XD) müsste dann doch eher x*500.000€+y*500.000€=6Mio€ Sein weil x und y ja nur die Anzahl der Projekte angibt.

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Löse x*500.000€+y*500.000€=6Mio€ nach y auf und schreibe U(x,y) auf U(x) um, indem du dort y durch den aufgelösten Term ersetzt.

Dann kannst du das doch eindimensional ableiten und Null setzen.

Dann hast du zumindest eine Kontrolle für das offenbar verlangte Vorgehen.

Answer 1

Lösung ohne Lagrange:

Text erkannt:

\( \frac{H B:}{U(x, y)}=3 x y^{2} \) soll minimal werden
\( N B: \)
\( 500.000 x+200.000 y=6.000 .000 \rightarrow 5 x+2 y=60 \rightarrow x=12-\frac{2}{5} y \)
\( U(y)=3\left(12-\frac{2}{5} y\right) y^{2}=36 y^{2}-\frac{6}{5} y^{3} \)
\( \frac{d U(y)}{d y}=72 y-\frac{18}{5} y^{2} \)
\( 72 y-\frac{18}{5} y^{2}=0 \)
\( y \cdot\left(72-\frac{18}{5} y\right)=0 \)
\( y_{1}=0 \rightarrow x_{1}=12 \)
\( 72-\frac{18}{5} y=0 \)
\( y_{2}=20 \rightarrow x_{2}=4 \)
\( \left[72 y-\frac{18}{5} y^{2}\right] \cdot=72-\frac{36}{5} y \)
\( \left[72 y-\frac{18}{5} y^{2}\right]^{\prime}(0)=72>0->\operatorname{Minimum} \)
\( \left[72 y-18 / 5 y^{\wedge} 2\right]^{\prime}(20)=72-36 / 5 * 20=-72<0->M a x i m u m \)
\( U_{1}(3 \cdot 12 \cdot 0)=0 \) hier ist das Minimum.
\( U_{2}(3 \cdot 4 \cdot 400)=4800 \) hier ist das Maximum.
mfG
Moliets