Ich fasse mal zusammen, was wir besprochen haben , und zwar für einen reellen Raum mit Skalarprodukt, und schließe den Beweis dann ab:
f ist normal genau dann, wenn \(f \circ f^*=f^* \circ f\). Die ist äquivalent zu
$$\forall u,v \in V: \quad \langle f(u),f(v)\rangle= \langle f^*(u),f^*(v)\rangle\qquad (1)$$
Denn aufgrund der Eigenschaften der adjungierten Abbildung gilt
$$\forall u,v \in V: \quad \langle f(u),f(v)\rangle= \langle u,f^* \circ f(v)\rangle \text{ und } \langle u,f \circ f^*(v)\rangle= \langle f^*(u),f^*(v)\rangle$$
Denn wenn f normal ist, dann sind die beiden inneren Terme gleich, also auch die äußeren. Wenn die beiden äußeren gleich sind, dann auch die inneren; da u und v beliebig sind, folgt \(f \circ f^*=f^* \circ f\).
Nun zur Aufgabe: Wenn f normal ist, dann folgt (1), insbesondere natürlich für u=v, das wäre die Behauptung für die Normen.
Wenn umgekehrt die Behauptung für die Normen gilt folgt für beliebige \(u,v \in V\):
$$\|f(u+v)\|^2=\langle f(u)+f(v), f(u)+f(v) \rangle\\\quad =\|f(u)\|^2+\langle f(u), f(v) \rangle+\langle f(v), f(u) \rangle+\|f(v)\|^2$$
Dies ist gleich \(\|f^*(u+v)\|^2\), dies entwickelt man analog, die Norm-Terme fallen weg und die Gleichung (1) bleibt übrig.
