LGS Wert von p damit eine Lösung

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe mal berechnet, wie ich das LGS lösen würde und

habe:

(3,2,1 | 4)

(3,2,0 | 5)

(0,0,-p+1 | 0)

Also:

(-p+1) * x3 = 0

?

wie zeige ich, dass es unendlich viele Lösungen gibt?

Ich meine das ist, wenn 0=0 steht..

also p=1 -> (-1+1)*x3=0

0*x3=0 -> 0=0 ?

Ist das so richtig?

und wie zeige ich das es für kein p genau eine Lösung gibt?

Comments

Beachte die zweite Gleichung! Findest du eindeutige Werte für x₁ und x₂ ?

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nein x1 und x2 sind wählbar denke ich

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Das ist ja gerade der Grund, dafür dass der Fall "genau eine Lösung" nicht vorkommt.

Answer 1

\(p=1\) ist als erste Antwort richtig, Du musst aber auch hier prüfen, dass die beiden Gleichungen darüber lösbar sind (es könnten ja Widersprüche auftauchen, z.B. 3. Gl: 0=0, 2. Gl: 0=1). Behandle dazu auch die 2. Gl mit Gauß-Alg.

Für das zweite: Falls \(p\neq 1\), rechne die Lösung aus. Dann sollte Dir ziemlich schnell was auffallen.

Comments

Dankeschön,

beim zweiten:

egal was ich für p einsetze wenn p ungleich 1 es kommt immer

x3=0 raus. Also immer nur eine Lösung

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Eine Lösung besteht aus x1, x2, x3, wir haben doch ein LGS.

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Stimmt.

Eine Frage noch zum Teil davor und zwar habe ich hier richtig gerechnet:

(3,2,1 | 4)

(3,2,0 | 5)

(0,0,-p+1 | 0)

und dann

(3,2,1 | 4)

(0,0,1 | -1)   bin mir hier bei der 2. gleichung nicht sicher..

(0,0, -p+1 | 0)

unendlich viele Lösungen wäre ja

p = 1 => letzte Gleichung 0=0

aber zweite Gleichung 1= -1 ??

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Die Umformung stimmt. Aber weißt Du überhaupt, was die Zeilen bedeuten? Da sind jeweils Gleichungen, ja, auch die zweite. Wie lautet die für p=1?

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nein, ich weiß nicht, was es bedeutet.

Also normalerweise löse ich ein LGS so auf,

dass ich ganz unten (0,0,x|zahl)

habe.

Also das ich x3 bestimme und das dann in die zweite

Gleichung für x2 einsetze und schließlich x1 bei der ersten

Gleichung.

Deswegen bin ich irritiert, weil bei der zweiten und dritten

Gleichung die ersten 2 zahlen 0 sind

und dann wäre ja 1= -1 bzw 1x3= -1 => x3= -1 bei der zweiten Gleichung.

Bei der dritten ist es egal was ich für p einsetze, immer x3=0

und damit ja ein Widerspruch zur zweiten Gleichung?

also selbst wenn p = 0 ist, (-0+1)*x3=0

kommt x3=0 raus...

ich verstehe das nicht.

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Schreib nicht soviel, beantworte meine Frage: Wie lautet die zweite Gleichung (aus dem umgeformten LGS) für p=1? (Da kommt übrigens gar kein p drin vor).

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es ist:

x3= -1

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aha, geht doch. Welche Lösungen (Vektoren!) findest Du also im p=1? Gib zwei versch. an.

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x3*(-p+1)=0

-1*(-1+1)=0

0=0

hä?

für p=1 gibt es nur eine?

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Was machst Du denn da? Wir sind im Fall p=1. Die 3. Gl lautet dann 0=0, die 2. Gl. x3=-1. Nun schreib die 1. Gl dazu und nenne drei Lösungen des LGS (das sind Vektoren, also jeweils x1,x2,x3).

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1. Gl:

3x1+2x2 -1 = 4

3x1 +2x2 = 5

?

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NACH dem Umformen. Die 2. Gl lautet dann x3=-1. Hab ich (und Du) doch schon mehrmals gesagt. Warum nimmst Du dann wieder ne andere?

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Ich verstehs nicht.

Aber angenommen ich nehme bei der 1.

Gleichung x2=2

dann wäre x1 = 1/3

also

3x1+2x2 -1 =4

wäre erfüllt...

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Es zieht sich hier hin, weil ich alles mehrfach sage. Die Lösung eines LGS besteht aus drei Größen (ich glaub das weißt Du, warum Du mir keine solche nennst, weiß ich aber nicht).

Nenne mir also zwei(!) versch. Lösungen des LGS:

\(3x_1+2x_2 +x_3 =4,\; x_3=-1,\; 0=0\)

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1. Lösung (1/3 , 2, -1)

2. (0, 2,5 , -1)

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Gut. Vielleicht hast Du gemerkt, dass Du auch unendlich viele finden könntest, nicht nur zwei.

Wenn also der Fall p=1 klar ist, wie ist es nun mit \(p\neq 1\)? Wie sieht es da mit den Gleichungen und den Lösungen aus?

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Ich habe für p = 2 eingesetzt

und es gibt Widersprüche.

(3,2,1 | 4)

(0,0,1 | -1)

(0,0,-1 | 0)

einmal ist x3 = 0

und einmal soll es -1 sein.. geht ja net

also keine Lösung

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Aha, gut. Und wie ist es mit p=3, p=4, und allgemein mit \(p\neq 1\)?

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Für p ungleich 1 gibts immer Widersprüche

weil zb x3 immer unterschiedlich ist bei den Gleichungen. *Also keine Lösung

Vielen Dank

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Gut, dann haben wir's jetzt, oder? Alles verstanden? Den Widerspruch sieht man direkt zwischen der 2. und der 3. Gl.

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Ja jetzt hab ich es wirklich verstanden

danke für die Geduld