Aloha :)
Ich vermute, dass es sich bei \(K\) um eine Kugel mit Radius \(R\) handelt, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems befestigt ist. Zur Bestimmung der Masse dieser Kugel brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der jeden Punkt der Kugel abtastet. In Kugelkoordinaten formuliert heißt das:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in[0;\pi]$$
Durch den Übergang von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten wird das Volumenelement verzerrt$$dV=dx\,dy\,dz=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$und die Dichtefunktion geht über in$$\rho(x;y;z)=1+x^2+y^2+z^2=1+r^2$$
Damit können wir das Integral für die Masse \(M\) wie folgt formulieren:$$M=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\underbrace{(1+r^2)}_{=\rho}\,\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}=\int\limits_{r=0}^R(r^2+r^4)dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\sin\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom M=\left[\frac{r^3}{3}+\frac{r^5}{5}\right]_0^R\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\cos\varphi\right]_0^\pi=\left(\frac{R^3}{3}+\frac{R^5}{5}\right)\cdot2\pi\cdot2=\frac{4\pi R^3}{3}\left(1+\frac{3R^2}{5}\right)$$
