Numerische Berechnung von g(x) = Integral

Question

Aufgabe:

a) Für x≥0 sei die Funktion g : [0,∞) definiert durch das Integral

g(x) = \( \int\limits_{0}^{x} \) \( \frac{dt}{ \sqrt{t} · \sqrt{2x + 1 - t}} \)

b) Für die Funktion g hat die Gleichung g(x) = 1 im Intervall [0,1] eine eindeutige Lösung ξ mit g(ξ) = 1.

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir sagen, welche numerische Verfahren ich hier wie anwenden kann?

Liebe Grüße

Comments

Du brauchst nichts numerisch zu integrieren.

Zeige mit der Leibniz-Regel, dass g streng monoton wachsend auf (0,1) ist.
g(0) = 0 und zeige per simpler Abschätzung, dass g(1) > 1 gilt.

Da g stetig auf [0,1] ist, gibt es nun genau eine Lösung von g(x)=1 auf (0,1).

Wenn ich Zeit hab, schreib ich vielleicht noch eine Antwort mit den Rechnungen.

Answer 1

Hallo,

das ganze ist zeimlich tricky und der Integralrechner von Wolfram war zwar eine Hilfe, liefert aber nicht gleich eine verwertbare Lösung. Da die Funktion unter dem Integral für \(t \to 0\) gegen Unendlich marschiert, ist eine nummerische Lösung - auch für ein bekanntes \(x\) - nicht trivial. Ich zumindest kenne keinen nummerischen Algorithmus, der dann eine robuste Lösung liefert.

Substituiere zunächst $$t = (2x + 1)s \quad \implies \frac{\text{d}t}{\text{d}s} = 2x + 1$$dann wird \(g\) zu$$g(x)= \int\limits_{0}^{x/(2x+1)} \frac{\text{d}s}{ \sqrt{s} \cdot \sqrt{1 - s}}$$und jetzt formt man das \(\sqrt{s}\) geschickt um... $$g(x)= \int\limits_{0}^{x/(2x+1)} \frac{1}{ \sqrt{1-\left(\sqrt{1-s}\right)^2} } \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - s}}\, \text{d}s$$dann steht dort ein Produkt aus der Ableitung des \(\arcsin\left(\sqrt{1-s}\right)\) und deren innerer Ableitung. Wenn man mal vorübergehend den konstanten Faktor ignoriert.

Also ist$$\begin{aligned} g(x) &= \left[-2\arcsin\left(\sqrt{1-s}\right) \right]_{0}^{x/(2x+1)} \\ &= \pi - 2\arcsin\left(\sqrt{1-\frac{x}{2x+1}}\right) \end{aligned}$$und jetzt bleibt die Frage nach der Nullstelle \(\xi\) für die gilt $$g(\xi) - 1 = 0$$und das sollte mit dem alten Newtonverfahren zu machen sein. Ich habe \(\xi \approx 0,425\). Falls Du doch noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Achtung: da war noch ein Tippfehler drin. Im Nenner unter der Wurzel muss \(2x {\color{red}+} 1\) stehen.

... das sollte mit dem alten Newtonverfahren zu machen sein

muss es aber nicht! Bei dem ganzen Gedöns um nummerisches Verfahren und einem Integral mit einem Fuß im \(\infty\) hatte ich zunächst übersehen, dass die Lösung von \(g(\xi) -1=0\) jetzt gar kein Problem mehr ist:$$\begin{aligned} g(\xi) - 1 &= 0 \\ \pi - 2\arcsin\left(\sqrt{1-\frac{\xi}{2\xi+1}}\right) - 1 &= 0\\ \pi -1&= 2\arcsin\left(\sqrt{1-\frac{\xi}{2\xi+1}}\right)  \\ \sin\left(\frac{\pi - 1}{2}\right) &= \sqrt{1-\frac{\xi}{2\xi+1}} \\ \left(\sin\left(\frac{\pi - 1}{2}\right)\right)^2 &= 1-\frac{\xi}{2\xi+1} \\ \frac{\xi}{2\xi+1} &= 1 - \left(\sin\left(\frac{\pi - 1}{2}\right)\right)^2 = u\\ \xi &= u \cdot (2\xi+1) \\ \xi - 2u\xi &= u \\ \xi &= \frac{u}{1-2u} \approx 0,42541 \\ \end{aligned}$$Stellt sich für mich noch die Frage: war es Teil der ursprünglichen Aufgabe hier eine nummerische Lösung zu finden?

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Aufgabe war es, ein numerisches Verfahren vorzuschlagen und dies zu begründen.

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Es vermeidet unnötige Arbeit für wenig hilfreiche Lösungen, wenn Du die Aufgabenstellung mitlieferst. Auch jetzt hast Du noch nicht gesagt, ob es um a) oder b) geht und was genau das Verfahren tun soll.

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Aufgabe war es, ein numerisches Verfahren vorzuschlagen und dies zu begründen.

und wozu genau?

Bei a) ist gar keine Aufgabestellung enthalten und bei b) steht nur eine Behauptung. Die Aufgabe wäre dann wahrscheinlich, zu zeigen, dass die Behauptung wahr ist, also eine Lösung existiert. Da wäre dann der Hinweis von trancelocation (Kommentar unter Deiner Frage) hilfreich.

Letzteres ließe sich sicher auch nummerisch machen. Ist es das, wonach gefragt war?

Answer 2

Hallo

Numerisch kann man das nur für ein festes x lösen und dann mit jeder Integrationsmethode . sonst benutze integralrechner.de

lul