Suche nach einfachem Beispiel für Nebenklassen & Satz von Lagrange

Question

Ich versuche gerade, den Satz von Lagrange zu verstehen, scheitere aber schon auf Wegen davor. Sagt mir bitte, ab welchem Gedankenschritt ich einen mathematischen Fehler begehe:

Ich wähle als Gruppe G die Menge {0,1,2,3,4,5}, und die Verknüpfung definiere ich als Multiplikation und als Modulo 6 derart, dass 4*2= 2, 4*3= 1 usw. Als Untergruppe H wähle ich H = {0,1}. Nun überlege ich mir die zwei (Links-)Nebenklassen 1*H = {0,1} und 2*H = {0,2}.

Problem: Die beiden Nebenklassen sind verschieden, aber nicht disjunkt!

Gerne würde ich mit diesem Beispiel dann den Satz von Lagrange "nachrechnen". Wo liegt mein Fehler? Würde mich sehr über Hinweise freuen!

Comments

In einer multiplikativen Gruppe hat ddddie Null nichts zu suchen.

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4*3 = 0 mod 6

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Ah ja, klar, die 0 ist hier fehl am Platze und meine Rechnung falsch. Danke! Wie könnte ich die Gruppe und die Untergruppe mit der Multiplikation hinschreiben?

Answer 1

Wir nehmen G = {0,1,2,3,4,5} mit der Addition mod 6 als Gruppenoperation.

H = {0,2,4} ist eine Untergruppe;  H und 1 + H = {1,3,5} sind die Nebenklassen.

U = {0,3} ist eine Untergruppe; U, 1 + U = {1,4}, 2 + U = {2,5} sind die Nebenklassen.

Comments

Ah, aber dann ist |G| = 6, jeweils |H| = 3 und [G:H] = 1 , weil doch 0+H und 1+H die gleiche Nebenklasse ergeben, es also nur eine verschiedene Nebenklasse zu H und G gibt? Dann würde der Satz von Lagrange (|G|=6=|H|*[G:H]=3*1) nicht aufgehen. :/

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[G:H] = 2, denn es gibt die Nebenklassen 0+H=H und 1+H!

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1 + H = {1+h | h \in H}