Beweis: Zerlegung von Gruppen in Nebenklassen

Question

Beweisen sie folgendes:

Sei (H,∗, e) eine Untergruppe der Gruppe (G,∗, e). Definiere die Relation ∼ auf G durch:
h ∼ g :⇐⇒ h ∗ g^-1 ∈ H,
für alle h, g ∈ G, wobei in diesem Falle die multiplikative Schreibweise genutzt wird. Dann gelten:

(1) Die Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation.

(2) Seien g ∈ G und H ∗ g := { h ∗ g | h ∈ H }. Dann ist r_g : H → H ∗ g, h → h ∗ g bijektiv.

(3) Für alle g ∈ G gilt [g]_∼ = H ∗ g.

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Völlig ratlos was diese Aufgabe angeht. Reflexivität, Transitivität und Symmetrie müssen ja irgendwie in (1) gezeigt werden und Injektivität und Surjektivität in (2), soviel verstehe ich selbst noch. Ich wäre sehr dankbar für genaue Schritte wie man diese Aufgabe angehen sollte.

Comments

Vielleicht schwierig, aber wichtig für den Satz von Lagrange, https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange.

Answer 1

zu 1:

Reflexivität  zu zeigen:

Für alle x ∈ G gilt    x   ~  x .

Musst also prüfen, ob für alle x ∈ G gilt    x*x^(-1)  ∈  H .

Dem ist so, da x*x^(-1)  = e und in jeder Untergruppe H das neutrale El. e enthalten ist.

 Transitivität:   Aus   x   ~  y und   y   ~  x muss   x   ~  z folgen

Nach Def. von ~ hast du also   also :   x*y^(-1)  ∈  H   und  y*z^(-1)  ∈  H

Dann ist wegen der Abgeschlossenheit von H auch    ( x*y^(-1)) * ( y*z^(-1) ) ∈  H

wegen des Assoziativität also auch    x* (y^(-1)  *  y ) *z^(-1) ) ∈  H

==>      x* e *z^(-1) ) ∈  H

==>      x *z^(-1) ) ∈  H

und das heißt ja gerade  x ~ z .

 Symmetrie schaffst du jetzt auch !

Comments

Leider sind die Aussagen (2) und (3) nicht weniger wichtig für den Satz von Lagrange und müssten so gesehen Teil der Antwort sein.

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Hatte eigentlich vom Fragesteller sowas erwartet wie

"Aha, jetzt schau ich durch !"

Warten wir mal ab.

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Hm, die Aufgabe (1) ist die leichteste von den dreien, oder? Die hast du jetzt beantwortet, aber die (2) und (3) fehlen.

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Fragesteller hält sich aber vornehm zurück.