Reihen und Konvergenz Beweis

Question

Ist mein Beweis richtig?

Text erkannt:

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \Longleftrightarrow \sum \limits_{n \geqslant 1}(-1)^{n}\left(a_{n}-a\right) \) konvergiert

Antwort: Korrekt
Beveis: \( \Longleftrightarrow \) Es gelle \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \)
Es gilt \( \sum \limits_{n \geqslant 1}(-1)^{n}\left(a_{n}-a\right)<\infty \), wenn \( \left(\mid(-1)^{n}\left(a_{n}-a\right)_{n \in \mathbb{N}}\right. \) Nulloilge \& monoton fallend ist, nach leibniz.
Es gilt nach Annahme \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \). D.h. es gibt ein \( N \in \mathbb{N} \), wobei der Abstand \( \left|a_{n}-a\right| \) beliebig Klein wird.
Also ist \( \left(\left|a_{n}-a\right|\right)_{n \in \mathbb{N}} \) für \( n \geqslant N \) monoton fallend \( k \) auch eine Nullsolge, da der Abstand für \( n \geqslant N \) beliebig Klein wird \( k \) für
\( n \rightarrow \infty \) gegen 0 geht, d.h. \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}-a\right|=0 \).
Es gilt:
\( \sum \limits_{n \geqslant 1}^{E s \text { gilt: }}(-1)^{n}\left(a_{n}-a\right)=\underbrace{\sum \limits_{n \geqslant N}(-1)^{n}\left(a_{n}-a\right)}_{<\infty}+\underbrace{\sum \limits_{n=1}^{N-1}(-1)^{n}\left(a_{n}-a\right)}_{\leqslant k \text { mit } k \in \mathbb{R}}<\infty \)
\( \Leftrightarrow \) Sei \( \sum \limits_{n \geqslant 1}(-1)^{n}\left(a_{n}-a\right) \) konvergent.
Nach dem Mullfolgenkriterium muss \( \left(\left(a_{n}-a\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Nullfolge sein.
D.h. \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-a\right)=0 \Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \underbrace{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a}_{=a}=0 \Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \)

Answer 1

Was heißt denn "Antwort: korrekt"? Du hast uns die Aufgabe unterschlagen.

Die \(\implies\) -Richtung stimmt nicht. Man kann nicht aus Nullfolge auf Monotonie schließen, wie einfachste Beispiele zeigen.

Die andere Richtung ist von der Idee ok, aber formal nicht in Ordnung. Denn \(\lim a_n\) darf man erst schreiben, wenn \(a_n\) konvergiert, und wenn das gesichert ist, damit dann weiterrechnen. Ist ein häufiger Fehler, mit \(\lim\) zu rechnen bevor die Konvergenz geklärt ist (auch hier im Forum immer wieder zu sehen).

Noch zu \(\implies\): Probier (mit Leibniz-Krit. im Kopf) ein paar Beispiele aus und beachte die Aufgabenstellung (die Du hier nicht nennst, ich mir aber denken kann).

Comments

Aber bei => weiss ich ja, das lim a_n = a ist, also gibt es ja ein Index N, wobei für all n die nach diesem N kommen, der Abstand |a_n - a| beliebig klein wird, sodass man dann daraus schließen kann, das die Folge (|a_n - a|) ab diesem N monoton fällt. Da ja der Abstand |a_n - a| immer kleiner wird ab diesem N, ist es ja dann auch eine Nullfolge. Somit kann man nach Leibniz ja sagen, das die Reihe ab diesem N konvergiert. Die Summe vor diesem N, also die Partialsumme von n = 1 bis N - 1 ist ja endlich, d.h. insgesamt ist das ganze damit auch endlich. Warum ist denn das falsch?

Achso ja die Aufgabenstellung, ist diese Äquivalenz zu zeigen, s. ganz oben.

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Nein! Und was ein Durcheinander: Du fängst mit Nullfolge an, schließt auf Monotonie (wie gesagt, falsch!), schließt dann wieder auf Nullfolge.

Welche Nullfolgen kennst Du und hast sie auf Monotonie getestet? Nenne alle Beispiele.

Beachte auch meine Antwort oben (Du wiederholst einfach Deine Lösung ohne darauf einzugehen).

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Kann man dann bei => einfach, da man ja annimmt das lim a_n = a gilt, dieses äquivalent umformen, also:

lim a_n = a <=> lim a_n - a = 0 <=> lim a_n - lim a = 0 <=> lim(a_n - a) = 0 und damit dann zeigen, das (a_n - a) eine Nullfolge ist. Für die Monotonie hätte ich keine richtige Idee, da würd ich einfach sagen: Man weiss ja (|a_n - a|) ist eine Nullfolge und auch positiv, also müsste sie damit auch monoton fallend sein. Womit man dann insgesamt die Konvergenz der Reihe folgern kann.

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Ja, man kann folgern, dass \(a_n-a\) Nullfolge ist.

Du ignorierst weiter meine Fragen und Tipps und wiederholst zum 3. Mal Deinen falschen Beweis. So kommen wir nicht weiter.

Nochmal: Stichwort Aufgabenstellung, Beispiele. Dann wird Dir die Sache sofort klar.

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Okay ich hab jetzt eine Lösung:

Also es gilt hier nur die Rückrichtung <=. Grund: Wenn die Reihe konvergiert, muss ((-1)^n (a_n - a)) Nullfolge sein, insbesondere dann natürlich auch (a_n - a). Somit gibt es für jedes E > 0 ein N aus den natürlichen Zahlen, wobei |a_n - a| < E gilt für alle n > N.Nach Definition gilt das auch für dasselbe N für die Folge (a_n). Also ist lim(a_n) = a.

Die Hinrichtung => gilt nicht. Ein Gegenbeispiel wäre die Folge a_n = (-1)^n / n mit lim a_n = 0, so folgt nämlich, das (-1)^n (a_n - a) = (-1)^n ((-1)^n / n - 0) = (-1)^2n / n = 1/n ist und dessen Reihe ist die divergente harmonische Reihe.

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Gut! Freut mich, dass du es gefunden hast.

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Dankeschön!

Ich hoffe es macht nichts aus, aber ich hätte noch einen zweiten Beweis und würde mich freuen, wenn Du mir sagen könntest, ob der diesmal so beweisbar ist. Ich bin mir nämlich unsicher. Die Aufgabenstellung ist nun mit dabei.

Text erkannt:

Seien \( \sum \limits_{n \geqslant 0} a_{n} \& \sum \limits_{n \geqslant 0} b_{n} \) Reihen in \( \mathbb{R} \) mit \( a_{n}, b_{n}>0 \) \( \forall n \in \mathbb{N} \). Es gäbe ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \), sodass \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \forall n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geqslant n_{0} \). Zeige: Konvergiert \( \sum \limits_{n \geqslant 0} b_{n} \), so konvergiert auch \( \sum \limits_{n \geqslant 0} a_{n} \).
Beweis:

Da \( a b \) einem \( n_{0}, \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \geqslant \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \quad \forall n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geqslant n_{0} \) gilt, gilt auch \( 1>\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \geqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \).
\( \Longrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1 \Longrightarrow \sum \limits_{n \geqslant n_{0}} a_{n} \) konvergiert absolut

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1. Du verwendest das QK umgekehrt. Dies ist nur erlaubt, wenn es ausdrücklich so in der Vorlesung notiert wurde oder Du es nachweist. "Einfach so" geht das nicht. Die übliche Notierung des QK (z.B. wikipedia) ist eine reine wenn-dann-Bedingung.

2. \(a_{n+1}/a_n\) muss nicht konvergieren. Das war eigentlich eine Lektion aus der vorigen Frage ("denn limes darf man erst schreiben...").

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Stimmt, merke ich gerade auch. Danke nochmal.