Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Durch die Hinweise steht eigentlich die komplette Lösung schon da. Wenn man aber mit Reihen bisher keine Erfahrung hat, sieht man vermutlich den Wald vor Bäumen nicht. Machen wir das also mal zusammen.
zu a) Wir betrachten zunächst eine endliche Summe:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{k=1}^N\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^N\left(\frac1k-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=1}^N\frac1k-\sum\limits_{k=1}^N\frac{1}{k+1}$$Jetzt kommt ein "Trick", der bei Summen sehr oft weiterhilft, eine sog. "Indexveschiebung". Wenn wir in der zweiten Summe den Index \(k\) nicht bei \(1\), sondern bei \(2\) beginnen lassen und dafür die Obergrenze von \(N\) auf \((N+1)\) schieben, können wir bei den Summanden \(k\) durch \((k-1)\) ersetzen:$$S_N=\sum\limits_{k=1}^N\frac1k-\sum\limits_{k=2}^{N+1}\frac{1}{(k-1)+1}=\sum\limits_{k=1}^N\frac1k-\sum\limits_{k=2}^{N+1}\frac{1}{k}$$Jetzt trennen wir von der ersten Summe den untersten Index ab und von der zweiten Summe den obersten Index$$\phantom{S_N}=\left(\frac11+\sum\limits_{k=2}^N\frac 1k\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^N\frac 1k+\frac{1}{N+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}$$Die beiden Summen haben sich gegenseitig aufgehoben. Nun ist auch der Grenzwert der unendlichen Summe klar:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\lim\limits_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1$$
zu b) Da der erste Summand bei \(k=1\) den Wert \(\frac1{1^2}=1\) hat und alle weiteren Suammanden positiv sind, ist klar, dass die Summe \(\ge1\) sein muss. Wir müssen also nur zeigen, dass die Summe \(\le2\) ist. Dazu trennen wir den untersten Index der Summe ab:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac1{1^2}+\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{1}{k^2}$$Jetzt nutzen wir aus, dass ein Bruch größer wird, wenn sein Nenner kleiner wird. Da der Startindex nun bei \(k=2\) beginnt, darf im Nenner der Faktor \((k-1)\) auftauchen:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=1+\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{1}{k^2}<1+\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)}$$Erinnserst du dich oben an die Indexverschiebung? Das tun wir nun erneut, indem wir die Summe nicht bei \(k=2\), sondern bei \(k=1\) beginnen lassen. Die obere Grenze \(\infty\) bleibt ungeändert, weil wir eh bis unendlich addieren müssen. In den Summanden aber können wir dadruch \(k\) durch \((k+1)\) ersetzen:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}<1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{(k+1)((k+1)-1)}=1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{(k+1)k}\stackrel{\text{(Teil (a))}}{=}1+1=2$$Damit haben wir auch die obere Grenze gezeigt.
