LGS in Matrix-Vektor Form bringen

Question

Aufgabe:

Ich soll folgendes LGS in eine Matrix-Vektor Multiplikations Form umwandeln. Wobei w0 und w1 die gesuchten Parameter sind. Stellen wir uns vereinfacht vor wir haben n=5 (xi, yi) Paare. n=5 und (xi, yi) entsprechen einfach Punkten, die man gegeben hat.

Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre nun gewesen das ganze mal schön aufzuschreiben also alle Glieder der Summe. Danach könnte man doch versuchen diese yi Glieder als eigenen Vektor zu bilden. Dann hat man ja Vektor + Vektor = 0. Den rechten Vektor könnte ich ja mal in die Matrix Vektor Form bringen da dies eine Linearkombination darstellt und könnte ich dann den Vektor mit den yi auf die rechte Seite bringen? Wäre dies ein möglicher Weg oder gibt es einen anderen Weg?

Answer 1

Ja, das würde ich auch so machen und ein Zahlenbeispiel dazu um das ganze zu überprüfen

bei n=4 würd ich für die -2/n Matrix auf

\(\small \left(\begin{array}{rr}-4&-X_i\left(1 \right) - X_i\left(2 \right) - X_i\left(3 \right) - X_i\left(4 \right)\\-X_i\left(1 \right) - X_i\left(2 \right) - X_i\left(3 \right) - X_i\left(4 \right)&-\left(X_i\left(1 \right) \right)^{2} - \left(X_i\left(2 \right) \right)^{2} - \left(X_i\left(3 \right) \right)^{2} - \left(X_i\left(4 \right) \right)^{2}\\\end{array}\right)\)

kommen

Answer 2

Da \(n\) beliebig ist, kannst du nicht wirklich die Summen ausschreiben. Du kannst aber die Summen geeignet aufsplitten.

Aber zuerst kannst du den Faktor \(-\frac 2n\) weglassen, da auf der rechten Seite 0 steht.

$$\sum_{i=1}^n(y_i-\hat w_0-\hat w_1x_i) = \sum_{i=1}^n y_i- n \hat w_0-\hat w_1\sum_{i=1}^n x_i$$

$$\sum_{i=1}^n(y_i-\hat w_0-\hat w_1x_i)x_i = \sum_{i=1}^n y_i x_i - \hat w_0\sum_{i=1}^n x_i -\hat w_1\sum_{i=1}^n x_i^2$$

Damit ergibt sich die Matrixschreibweise

$$ \begin{pmatrix} n & \sum_{i=1}^n x_i \\ \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat w_0\\ \hat w_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n y_i \\\sum_{i=1}^n y_i x_i\end{pmatrix}$$