Finden einer Ebene bei einer Spiegelung von Geraden

Question

Gegeben sind die Geraden
g : x =(1,1,1) + r *(1,2,0) und
h : x = (1,1,1) + s*(2,1,0)
mit r, s ∈ R.
Die Gerade g soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade h abgebildet werden. Bestimmen Sie eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

Mein erster Ansatz war es einen orthogonalen Vektor zwischen den Geraden zu finden und diesen als Normalenvektor für die Ebene zu verwenden. Der Stützvektor ist (1,1,1). Aber die Spiegelung sieht doch anders aus nach meinen Lösungen. Wie muss man dort vorgehen?

Answer 1

Die Geraden haben (1;1;1) als gemeinsamen Punkt und

ihre Richtungsvektoren sind gleichlang.

Also wähle auf jeder Geraden den Punkt mit dem Parameterwert 1,

das sind dann (2;3;1) und (3;2;1). Und die Symmetrieebene zu

den Punkten tut es.

Der Verbindungsvektor ist (1;-1;0) , den kannst du als Normalenvektor

nehmen und den Punkt (1;1;1) hast du ja auch.

Dann ist die Ebenengleichung x-y=0.

Comments

Vielen Dank. Ich verstehe jedoch nicht, warum man den Verbindungsvektor berechnet, ausgehend von den Punkten, die zu B den gleichen Betrag haben. Warum muss der Betrag der Strecken gleich sein?

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Du kannst auch den Richtungsvektor der Winkelhalbierenden nehmen

[1,2,0] + [2,1,0] = [3,3,0] =3[1,1,0]

Also würde ich als Spiegelebene

X = [1,1,1] + r[1,1,0] + s[0,0,1]

benutzen.

Answer 2

Hallo,

da beide Geraden einen gemeinsamen Stützpunkt besitzen, muss dieser zwangsläufig in der gesuchten Ebene liegen. Die gesuchte Ebene steht senkrecht auf der Ebene, die durch die beiden Richtungsvektoren aufgespannt wird und eine (von zwei!) Winkelhalbierende der Geraden liegt in der Ebene.

Mit diesen Bedingungen solltest Du die Ebene aufstellen können. Ich habe $$E: \quad x-y=0$$und so sieht das aus:

(klick auf das Bild)

Hinweis: dies ist eine von zwei möglichen Lösungen.

Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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Vielen Dank. Ich verstehe jedoch nicht, warum man den Verbindungsvektor berechnet, ausgehend von den Punkten, die zu B den gleichen Betrag haben. Warum muss der Betrag der Strecken gleich sein? Ich gehe von der Definition einer Spiegelung aus.

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Ich verstehe jedoch nicht, warum man den Verbindungsvektor berechnet, ausgehend von den Punkten, die zu B den gleichen Betrag haben. Warum muss der Betrag der Strecken gleich sein?

Schaue Dir mal die Spiegeleben von oben an, so dass Du nur eine (hier lila) Gerade siehst.

Die Gerade (nicht eingezeichnet) mit dem blauen Richtungsvektor soll nun auf die Gerade mit dem roten Richtungsvektor gespiegelt werden.

Sind nun beide Richtungsvektoren nicht gleich lang, so wie rechts im Bild, dann steht der Differenzvektor (schwarz) nicht senkrecht auf der Spiegelebene. Und kann daher auch nicht der Normalenvektor sein.

Links sind beide Richtungsvektoren gleich lang und daher steht der Differenzvektor (schwarz) senkrecht zur Spiegelebene.