Berechnen Sie die Funktionsgleichung 3. Grades

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat eine Extremstelle bei xe = 4 und eine Wendestelle bei xw=2 Die Wendetangente hat die Gleichung y = 1,5 x + 2. Berechnen Sie die Funktionsgleichung

Problem/Ansatz:

Kann jemand mein Problem lösen und die Vorgehensweise erklären, damit ich ähnliche Aufgaben weiterhin selbst erledigen kann? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

eine Gleichung 3. Grades und ihre ersten beiden Ableitungen kannst du so darstellen:

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b\\$

Für die vier Unbekannten a, b c und d brauchst du 4 Gleichungen. Die Informationen dazu entnimmst du dem Aufgabentext.

Extremstelle bei x = 4. Das bedeutet $f'(4)=0$, denn die Steigung an einer Extremstelle ist null.

Wendestelle bei x = 2. Das bedeutet $f''(2)=0$, denn die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist, dass die 2. Ableitung null ist.

Wendetangente y = 1,5x + 2

1,5 ist die Steigung an dieser Stelle, also $f'(2)=1,5$

Die y-Koordinate des Wendepunktes kannst du berechnen, indem du 2 für x in die Tangentengleichung einsetzt:

$y=1,5\cdot 2+2=5$, also $f(2)=5$

Damit lautet das Gleichungssystem

$f'(4)=0\Rightarrow 48a+8b+c=0\\ f''(2)=0\Rightarrow 12a+2b=0\\ f'(2)=1,5\Rightarrow 12a+4b+c=1,5\\ f(2)=5\Rightarrow 8a+4b+2b+d=5$

Das brauchst du jetzt nur noch zu lösen und/oder dich melden, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

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Jetzt verstehe ich alles, es hat mir sehr geholfen, vielen Dank.

Answer 2

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f '(x) = 3ax² + 2bx + c

f ''(x) = 6ax + 2b

Löse das Gleichungssystem

f '(4) = 0                        Extremstelle

f ''(2) = 0                       Wendestelle

f '(2) = 1,5                     Steigung Wendetangente

f(2) = 1,5 * 2 + 2           Punkt Wendetangente

um die Koeffizienten a, b, c und d der Funktionsgleichung zu erhalten.

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So sieht das dann aus:

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Danke, hat mir geholfen