Warum ist \frac{1}{2} *( 3k+1 −3)+ 3k+1 = \frac{1}{2} *( 3k+2 -3)?

Question

Aufgabe:

Warum ist $\frac{1}{2}$*($3^{k+1}$−3)+$3^{k+1}$ = $\frac{1}{2}$*($3^{k+2}$-3)  ?

Problem/Ansatz:

Was sind die Rechenschritte?

Comments

Löse mal die Klammern auf und verwende:

3^(k+1) = 3*3^k

Answer 1

 $\frac{1}{2} \cdot( 3^{k+1}$−3)+$3^{k+1}$

= $\frac{1}{2} \cdot 3^{k+1} −\frac{3}{2}+ 1 \cdot 3^{k+1}$

= $\frac{3}{2} \cdot 3^{k+1} −\frac{3}{2}$

1/2 ausklammern

= $\frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 3^{k+1} −3)$

= $\frac{1}{2} \cdot ( 3^{k+2} -3)$

Comments

Die wird die Klammer erstmal ausmultipliziert, um nachher wieder auszuklammern?

Das geht also durchaus auch etwas geschickter.

1/2·(3^(k + 1) - 3) + 3^(k + 1)
= 1/2·(3^(k + 1) - 3 + 2·3^(k + 1))
= 1/2·(3·3^(k + 1) - 3)
= 1/2·(3^(k + 2) - 3)

Answer 2

$\frac{1}{2} *( 3^{k+1} −3)+ 3^{k+1} = \frac{1}{2} *( 3^{k+2} -3)$ | beide Seite *2

$(3^{k+1} −3)+ 2(3^{k+1}) =3^{k+2} -3$ | Klammern weglassen und Produkt neu schreiben

$3^{k+1} −3+ 3^{k+1}+ 3^{k+1} =3^{k+2} -3$  | +3

$3^{k+1}+ 3^{k+1}+ 3^{k+1} =3^{k+2}$

jetzt kann man es erkennen.

Answer 3

1/2*(3*3^k-3) + 3*3^k

3/2*3^k-3/2 + 3*3^k

9/2*3^k -3/2

1/2*(3²*3^k-3)

1/2*(3^(k+2) -3)