Ein LKW fährt unter einem Tor durch. Wie nahe kommt er dem Torbogen?

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Der Graph von f mit f(x)= 8+ 72/(x²-25), die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x=-5, x=5 und y=7 begrenzen eine Fläche, die den Querschnitt eines drei Meter tiefen Tores darstellst ( 1LE = 1m)

Mittig durch das Tor führt eine 6m breite, zweispurige Straße. Ein 2m breiter und 3m hoher LKW mit rechteckiger Querschnittsfläche durchfährt den Torbogen auf der Mitte der rechten Fahrspur. Wie nahe kommt er dem Torbogen?

Ich weiß, dass die äußerste Kante des LKW P(2,5/3) ist und das man jetzt mit dem Satz des Pythagoras weiter rechnen muss.

Würde mich über eure Hilfe sehr freuen

Answer 1

Ja da hast du recht. Das ist eine Extremwertaufgabe oder lässt sich zumindest so rechnen. Allerdings ist die nicht ganz einfach zu rechnen.

Abstand^2

 

d^2 = (8 + 72/(x^2 - 25) - 3)^2 + (x - 2.5)^2
d^2 = (72/(x^2 - 25) + 5)^2 + (x - 2.5)^2
d^2 = 5184/(x^2 - 25)^2 + 720/(x^2 - 25) + 25 + x^2 - 5·x + 6.25

Minimum d^2' = 0

(2·x^7 - 5·x^6 - 150·x^5 + 375·x^4 + 2310·x^3 - 9375·x^2 - 15986·x + 78125)/(x^2 - 25)^3 = 0
2·x^7 - 5·x^6 - 150·x^5 + 375·x^4 + 2310·x^3 - 9375·x^2 - 15986·x + 78125 = 0

Das einfachste ist hier wohl ein Näherungsverfahren. Mit dem erhalten wir die Lösung

x = 3.101598318

d^2 = (8 + 72/(3.101598318^2 - 25) - 3)^2 + (3.101598318 - 2.5)^2 = 0.4634407226
d = 0.6807648071

Der kleinste Abstand beträgt etwa 68 cm.