Konvergenzkriterien anwenden, wie?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Reihen mit Hilfe der Konvergenzkriterien auf Konvergenz:

i)

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1}$$

ii)

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$$

Problem/Ansatz:

Bei i) hatte ich den Ansatz, dass ich das Majorantenkriterum anwende:

$$\frac{1}{\sqrt{n}+1} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\leq\frac{\sqrt{n}}{n}$$
Dies lässt sich jedoch nicht weiterführen, da 1/n kleiner wäre. Außerdem scheint das Majorantenkriterum im Allgemeinen falsch zu sein, da ich bereits online nachgeschaut habe, dass das ganze divergieren muss. Doch wie komme ich darauf?

Bei ii) hatte ich das Minorantenkriterum angewendet:
$$\frac{n}{2^n}\geq \frac{1}{2^n} \rightarrow \text{bekannte Reihe, konvergiert}$$
Somit konvergiert auch die angegebene Reihe. Ist die Vorgehensweise richtig?

Comments

Kleiner Nachtrag:

Wäre es mathematisch korrekt i) so zu lösen:

$$\frac{1}{\sqrt{n}+1} \geq \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n+n} \geq \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}*\frac{1}{n}\rightarrow div.$$

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gelöscht, weil falsch.

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Dein Quotientenkriterium sieht verdammt selbstgemacht aus.

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Die Frage aus dem Nachtrag des FS ist damit meiner Meinung nach beantwortet.

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Warum schreibst du nicht "Tut mir leid, dass ich so einen Blödsinn verzapft habe. Der Nachtrag des Fragestellers ist ein korrekter Nachweis der Divergenz." ?

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Zu ii): Das Minorantenkriterium ist ein Kriterium, um die Divergenz einer Reihe zu beweisen, wie Du es für i) in Deinem Nachtrag getan hast. Konvergenz kann man so nicht beweisen.

Bei ii) würde ich mal das Quotientenkriterium versuchen.

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Ahh, ich verstehe. Wäre das dann eine korrekte Lösung:

$$q=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=\frac{2^n(n+1)}{2^{n+1}(n)}=\frac{2^n(n+1)}{2^n*2^1(n)}=\frac{n+1}{2n}=\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(2)}=\frac{1}{2}\rightarrow \frac{1}{2} <1 \rightarrow konvergiert$$

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Nein, weil Du hier limes und Folgenglied einfach mischt. Das QK fängt stets mit dem Quotienten an, nicht mit limes (den kann man da anfangs nicht beurteilen).

Answer 1

ii) Quotientenkriterium:

((n+1)*2^n)/(2*2^n*n)  = (n+1)/(2n)k

mit n kürzen:

= (1+1/n)/2 = 1/2 für n -> oo

Ich hatte vergessen, es abzuschicken.

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+n%2F%282%5En%29+from+1+to+infinit