Welche Konvergenzkriterien kann man anwenden?

Question

Aufgabe:

7.6. Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz oder Divergenz:
(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} \);
(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \);
(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^{n}}\left(\begin{array}{c}3 n \\ n\end{array}\right) \);
(d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \).
Dabei ist \( \left(\begin{array}{c}3 n \\ n\end{array}\right)=\frac{(3 n) !}{n ! \cdot(3 n-n) !} \) (Binomialkoeffizient).
Hinweis: Welche Konvergenzkriterien kann man anwenden?

Problem/Ansatz:

ich habe die erste Reihe mit Quotientenkriterium gemacht !! und die ändere kann ich nicht weiter arbeiten. Kann jemand mir helfen ???

Answer 1

d)   1/√n geht monoton fallend gegen 0, also ist die

Reihe nach Leibnizkriterium konvergent.

c) auch Quotientenkrit:

\(  \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{ \frac{1}{7^{n+1}} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)! \cdot (2n+2)!}  }{  \frac{1}{7^n} \cdot \frac{(3n)!}{n! \cdot (2n)!}  } = \frac{1}{7} \cdot \frac{(3n+3)! \cdot n! \cdot (2n)!}{(n+1)! \cdot (2n+2)! \cdot (3n)! } \)

Jetzt mal kräftig kürzen!

\(  = \frac{1}{7} \cdot \frac{ (3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)\cdot (2n+2)(2n+1) } \)

und jetzt kann man den Grenzwert schon sehen, der ist

\(  = \frac{27}{7 \cdot 4} = \frac{27}{28} < 1 \)

Also Reihe konvergent.

b) natürlich nicht.

Comments

bei d) (-1)^{n}/\( \sqrt{n} \) ist nicht monoton fallend !!! oder !!

 -1 , 1/\( \sqrt{2} \) ,-1/\( \sqrt{3} \)

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Für das Leibnizkriterium müssen die

BETRÄGE eine monoton fallende Nullfolge bilden.

Answer 2

Zu b)

Die Reihenglieder sind \(>1\), bilden also keine Nullfolge, also ...

Zu c)

Das Quotientenkriterium liefert \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow \frac{27}{28}\) für \(n\rightarrow\infty\)