Endomorphismus mit Summenzeichen ausdrücken.

Question

Aufgabe:

Warum kann man Φ(ei) als \( \sum\limits_{k=1}^{n}{a(ki)e(k)} \) schreiben, falls Φ Endomorphismus
und A Abbildungsmatrix von Φ bezüglich einer Orthonormalbasis {e1, . . . , en}?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Bzgl. der gegebenen Orthonormalbasis hat ja z.B. der 1. Basisvektor

die Koordinatenspalte \(  e_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\\cdots\\0 \end{pmatrix}  \). Und \(   \phi(e_1)=A \cdot  \begin{pmatrix} 1\\0\\\cdots\\0 \end{pmatrix} \)

Das gibt also Koordinatenspalte genau die 1. Spalte der Matrix A.

\(  \begin{pmatrix} a_{1,1}\\ a_{2,1}\\ \dots\\ a_{n,1} \end{pmatrix} \)

Und zu dieser Koordinatenspalte gehört der Vektor \(  \begin{pmatrix} a_{1,1}\\ a_{2,1}\\ \cdots \\ a_{n,1} \end{pmatrix} =\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k,1}\cdot e_k \)

Und mit den anderen Basisvektoren entsprechend.

Comments

Also werden die vektoren aus der ONB, die ja nicht zwangsläufig die Einheitsbasis sein müssen, immer bzgl B dargestellt und dann in phi So eingesetzt? Das sieht man ja von außen nicht ohne weiteres wenn da nur ek aus der ONB in phi eingesetzt wird, geht man doch davon aus, dass es erstmal unverändert interpretiert wird, da ich ja keinen basiswechsel gemacht habe, oder versteh ich das falsch?

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Wenn ich Vektoren einer Basis mit Hilfe dieser Basis

in einem n-dimensionalen Vektorraum darstelle,

sind die Koordinatenspalten immer die kanonischen

Einheitsvektoren von ℝⁿ .

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Ja aber ich setz doch nur ek in phi ein, und da geht ich doch erstmal davon aus, dass es bzgl der Standard Basis dargestellt ist, oder?