Hey, stimmt diese Ableitung mit einer Matrix?

Question

Hey, stimmt diese Ableitung so? Für $f(x)=\frac{1}{2}x^TAx-x^Tb$ habe ich  $f'(x)=\frac{1}{2}(A^T+A)x-b$ und wenn A symmetrisch ist, dass ist  $f'(x)=Ax-b$?

Könntet ihr mit vielleicht sagen, wie genau man auf $(A^T+A)x$ kommt?

VG

Comments

Hallo

f' wird i,A, für Ableitung nach einer reellen Variablen benutzt, was bedeutet f'($\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$) z.B.

lul

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Für eine vektorwertige Funktion $f$ definiert man $f'(x)=Df(x)=\left(\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}\right)_{ij}$

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Darf ich fragen, was man sich unter der Ableitung einer Matrix bildlich vorstellen kann?

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Ableitung einer Matrix

Es handelt sich um die Ableitung einer Funktion f : ℝⁿ → ℝ^m (hier ist m=1), also bestenfalls um die Ableitungen von m Matrizen der Form n×1, und das sind die jeweiligen Anstiege in Richtung der n Koordinatenachsen.

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Hey, vielen Dank für eure Antworten. A solle eine symmetrisch positiv Defizite Matrix sein und die x sind vektorwertig, aber mehr weiß ich leider auch nicht:(

Answer 1

Verwende die Definition der Matrixvektormultiplikation. Es ist $x^TAx=\sum_{i,j} x_ia_{ij}x_j$. Jetzt bilde entsprechend die Einträge von $Df(x)=\left(\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}\right)_{ij}$ (bekannt als Jacobi-Matrix).

Alternativ über die Produktregel:

$\mathbf{x^T}\dfrac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial\mathbf{x}}+(\mathbf{Ax})^T\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial\mathbf{x}}$

$=\mathbf{x^TA}+\mathbf{x^TA^TI}$

$=\mathbf{x^TA}+\mathbf{x^TA^T}$

$=\mathbf{x^T}(\mathbf{A+A^T})$

Den Faktor $\frac{1}{2}$ habe ich der Einfachheit halber weggelassen. Ist $A$ symmetrisch, so gilt $A=A^T$ und das Ganze wird zu $2Ax$.

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Vielen lieben Dank:)

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Ich habe doch noch eine kurze Frage: Müsste es mit der Produktregel am ende nicht doch 2Ax^T sein? Könntest du vielleicht bitte sagen wieso das w^T zu w wird?

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Letztendlich kommt es darauf an, ob man die Jacobi-Matrix betrachtet oder den Gradienten (weil hier m=1). Die Jacobi-Matrix wäre dann ein Zeilenvektor, während der Gradient ein Spaltenvektor ist. Du kannst aber den Vektor einfach transponieren, um das Gewünschte zu erhalten. Mit $f'(x)$ scheint in deinem Fall eher der Gradient gemeint zu sein. Also musst du das Ergebnis entsprechend transponieren.

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Vielen dank, dass macht Sinn:)

Könnte man es ansonsten auch so begründen, dass  x^TA = Ax?

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Nein. Es ist $x^TA^T=(Ax)^T$. Daher ja auch der Wechsel vom Spalten- zum Zeilenvektor.

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Ahh jetzt verstehe ich, vielen Dank:)