Sicher, dass es um den Konvergenzradius ging oder doch um den
Konvergenzbereich.
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (\frac{n}{z})^{ n } }{ n! }}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}(\frac{1}{z})^{ n } \) und mit der
Substitution \(x = \frac{1}{z}\) hast du eine "normale" Potenzreihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}x^{ n } \)
Für den Konvergenzradius betrachte dann
\( \frac{ \frac{n^n}{n!} }{ \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{n^n(n+1)!}{n!(n+1)^{n+1}}= \frac{n^n(n+1)}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n}}\)
\(= (\frac{n}{n+1})^{n} = (1-\frac{1}{n+1})^{n} \) Und für n gegen unendlich geht das
gegen e-1. Also konvergiert die Reihe für |x| < e-1.
Und \( |x| \lt e^{-1} \) gibt dann ja \( \frac{1}{|z|} \lt e^{-1} \) bzw. \( |z| \gt e \).
Also konvergiert \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (\frac{n}{z})^{ n } }{ n! }} \) für alle z mit \( |z| \gt e \).
