Dichtefunktion Erwartungswert Symmetrie

Question

Definierte Dichtefunktion f auf [0;30]:

0,005x für 0<= x < 10
0,05 für 10 <= x <= 20

0,005 (30-x ) für 20 <= x <= 30

Wie unschwer zu sehen ist, nimmt die Funktion die Form eines Trapezes an, d.h. die Wahrscheinlichkeit an der Stelle x entspricht der an der Stelle 30-x. Erwartungswert ist 15, d.h. der x= 15 ist die Symmetrieachse. Wie kann man begründen, dass bei der Symmetrieachse der Erwartungswert liegen muss.

Comments

d.h. die Wahrscheinlichkeit an der Stelle x entspricht

Dichte, nicht Wahrscheinlichkeit!

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obwohl es natürlich auch für die Wahrscheinlichkeit zutrifft.

Answer 1

Schnapp dir einfach mal eine symmetrische Dichtefunktion f(x), die symmetrisch zur Stelle x = c ist. Ich denke, dann gilt f(c - x) = f(c + x) oder?

Kannst du jetzt allgemein den Erwartungswert zu dieser Dichtefunktion bestimmen?

Comments

Ja, die Symmetrie gilt. Aber warum ist bei x = Erwartungswert die Symmetrieachse?

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Kannst du jetzt allgemein den Erwartungswert zu dieser Dichtefunktion bestimmen? Die Formel für den Erwartungswert solltest du doch können. Ansonsten bei Wikipedia nachschlagen.

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Nochmals zur Erinnerung: Die Formel für den Erwartungswert hatte abakus dir schon notiert und lautet:

E(X) = ∫ (-∞ bis ∞) x·f(x) dx

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Oh tut mir leid, habe die Nachricht anfangs bisschen anders interpretiert.

Ja, wenn man ∫ (-∞ bis ∞) (x+c)·f(x+c) dx = ∫ (-∞ bis ∞) x*f(x+c) dx +  c*∫ (-∞ bis ∞) f(x+c) dx = 0 + c = c als Erwartungswert.

Durch x*f(x+c) wird die gerade zu einer ungerade Funktion. Eine ungerade Funktion in den Grenzen a und -a wird zu 0 und die Fläche unter der Dichtefunktion muss nach der Bedingung 1 sein.

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Da sind leider noch etliche Fehler drin. Man kann nicht einfach x als c vor das Integral ziehen.

Auch ist f(x) keine gerade Funktion, wenn sie symmterisch zur Stelle c ≠ 0 ist.

Aber ich denke das könnte wie folgt aussehen:

E(X) = ∫ (-∞ bis ∞) x·f(x) dx
E(X) = ∫ (-∞ bis c) x·f(x) dx + ∫ (c bis ∞) x·f(x) dx
E(X) = ∫ (0 bis ∞) (c - x)·f(c - x) dx + ∫ (0 bis ∞) (c + x)·f(c + x) dx
E(X) = ∫ (0 bis ∞) ((c - x)·f(c - x) + (c + x)·f(c + x)) dx
E(X) = ∫ (0 bis ∞) ((c - x)·f(c + x) + (c + x)·f(c + x)) dx
E(X) = ∫ (0 bis ∞) ((c - x + c + x)·f(c + x) dx
E(X) = ∫ (0 bis ∞) 2·c·f(c + x) dx
E(X) = 2·c·∫ (0 bis ∞) f(c + x) dx
E(X) = 2·c·1/2
E(X) = c

Answer 2

Ist \( X \) eine stetige Zufallsvariable, so heißt
\( \mu_{X}=\mathrm{E}(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \mathrm{d} x \)
der Erwartungswert von \( X \).

Hier musst du nur von 0 bis 10, von 10 bis 20 und von 20 bis 30 für die jeweils mit x multiplizierten geltenden Funktionen integrieren.

Comments

So habe ich es auch gemacht, in den Lösungen wurde mir gesagt, dass der elegantere Weg über Symmetriebeweise gehen würde.

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Benutze eine lineare Substitution, die c nach 0 verschiebt, benutze, dass das Integral von -a bis a über eine ungerade Funktion Null sowie das Integral von -∞ bis ∞ über f Eins ergibt.

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Kannst du den Beweis als Antwort zeigen?

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Kannst du den Beweis als Antwort zeigen?

Ich würde vermuten, das du das auch gut alleine hinbekommst, wenn du es versuchst, denn das ist wirklich nicht so schwer.

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Soll der Beweis so in der Art funktionieren?

f(x+μ) = f(-x+μ)

u sei x+μ

-u sei x-μ

Es gilt f(u) = f(-u) (Achsensymmetrie), es handelt sich um eine gerade Funktion, wodurch ∫f(u) du in den Grenzen von minus bis plus unendlich = 1 ist. Wäre es eine ungerade Funktion würde ∫f(u) du in den Grenzen von minus bis plus = 0 sein und damit die Bedingung einer Dichtefunktion nicht erfüllen.

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Soll der Beweis so in der Art funktionieren?

Benutze doch einfach mal die Formel für den Erwartungswert, wie vorgeschlagen.