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< a,b+c >= < a,b > + < a,c > Kann mir bitte einer den beweis zeigen und erklären? Danke
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Schade das geschriebene ist weggegangen ich schreibe es nochmal
Da kann man nichts beweisen. Das ist ja gerade laut Definition eine der Eigenschaften eines Skalarprodukts (Bilinearität).
Ich soll zeigen das die eigenscjaften von 2 bis 4. Erfüllt sind
Wie lautet denn die genaue Aufgabe?
Ich stell dir aufgabe neu rein mit bild am besten
Ich denke, die Eigenschaften Homogenität, Additivität und Symmetrie des Skalarprodukts folgen aus der Definition $$<a,b> := |a| \cdot |b| \cdot cos( \angle ( a,b ) )$$, sind also nicht per se definiert worden.
siehe meinen Kommentar unten. Das ist das Standardskalarprodukt auf reellen, euklidischen Vektorräumen. Da diese Abb. die genannten drei Eigenschaften erfüllt ist sie ein Skalarprodukt, nicht andersrum.

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Ich meine doch, dass man es beweisen kann. Erstmal geht das sicher mit der Definition $$< a, b > := |a| \cdot |b| \cdot cos( \angle ( a, b ) ) $$, kriege ich aber gerade nicht hin.

Mit Koordinatenvektoren geht es allerdings auch. Mache ich jetzt mal für zweidimensionale Vektoren:

$$<a, b+c> = (a_1,a_2) * ( (b_1,b_2) + (c_1,c_2) ) = (a_1,a_2) * ( b_1+c_1, b_2+c_2 ) = a_1 \cdot ( b_1 + c_1 ) + a_2 \cdot ( b_2 + c_2 ) = a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot c_1 + a_2 \cdot b_2 + a_2 \cdot c_2 = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_1 \cdot c_1 + a_2 \cdot c_2 = (a_1,a_2) * (b_1,b_2) + (a_1,a_2) * (c_1,c_2) = <a,b> + <a,c>$$

Wobei * das Skalarprodukt und das normale Mal-Zeichen die Multiplikation im Körper ist. Kann man natürlich einfach auf beliebig-dimensionale Vektoren verallgemeinern.
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Und woher weißt du, dass \(\langle \cdot , \cdot \rangle \) das Standardskalarprodukt ist? Es fehlt noch die Information, wie das Skalarprodukt genau definiert ist. Wie auch schon bei dieser Frage: https://www.mathelounge.de/107046/wie-berechnet-man-skalarprodukt

Es gibt nicht "das" Skalarprodukt. Es gibt sehr viele: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt Was du hier betrachtest ist ein spezielles Skalarprodukt, das sog. Standardskalarprodukt: https://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt $$<.,.>: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R, \quad (x,y) \mapsto \sum_{i=1}^nx_iy_i $$ auf einem reellem Vektorraum. Das ist kein Skalarprodukt auf komplexen Vektorräumen. Für andere Körper wird der Begriff Skalarprodukt, für gewisse Bilinearformen, auch selten verwandt.
Ja, richtig. Also vorausgesetzt, es ist das Standardskalarprodukt gemeint..
Um etwas genauer zu sein: Ein Skalarprodukt ist einfach eine positiv definite, symmetrische Bilinearform.
@Thilo: Und genau das kannst du grade nicht Voraussetzen. 10001000Nick1 hat ja deswegen extra nachgefragt und es ist rausgekommen, dass das gerade nicht klar ist ob das gemeint ist.
Klar kann ich das ;) Vorausgesetzt, es ist das Standardskalarprodukt gemeint, könnte meine Antwort dem Autor der Frage helfen. Ansonsten ist sie überflüssig.
Ah ok danke ich vetstehe jetzt das ich die aufgab3n stellung ganz reinstellen muss
Also gemeint war eigentlich das skalarprodukt im r hoch 2. Wo ich einfach das lamda im klamer b plus c nehmen musste. Ich musste es einfach umformen. Und dann zeigen das a malb und a mal c das gleiche sind wie das ganze ausgeschrieben berechnet ist.

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