Kann mir bitt einer skalarprodukt erklären und beweis

Question

< a,b+c >= < a,b > + < a,c > Kann mir bitte einer den beweis zeigen und erklären? Danke

Comments

Schade das geschriebene ist weggegangen ich schreibe es nochmal

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Da kann man nichts beweisen. Das ist ja gerade laut Definition eine der Eigenschaften eines Skalarprodukts (Bilinearität).

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Ich soll zeigen das die eigenscjaften von 2 bis 4. Erfüllt sind

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Wie lautet denn die genaue Aufgabe?

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Ich stell dir aufgabe neu rein mit bild am besten

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Ich denke, die Eigenschaften Homogenität, Additivität und Symmetrie des Skalarprodukts folgen aus der Definition $$<a,b> := |a| \cdot |b| \cdot cos( \angle ( a,b ) )$$, sind also nicht per se definiert worden.

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siehe meinen Kommentar unten. Das ist das Standardskalarprodukt auf reellen, euklidischen Vektorräumen. Da diese Abb. die genannten drei Eigenschaften erfüllt ist sie ein Skalarprodukt, nicht andersrum.

Answer 1

Ich meine doch, dass man es beweisen kann. Erstmal geht das sicher mit der Definition $$< a, b > := |a| \cdot |b| \cdot cos( \angle ( a, b ) ) $$, kriege ich aber gerade nicht hin.

Mit Koordinatenvektoren geht es allerdings auch. Mache ich jetzt mal für zweidimensionale Vektoren:

$$<a, b+c> = (a_1,a_2) * ( (b_1,b_2) + (c_1,c_2) ) = (a_1,a_2) * ( b_1+c_1, b_2+c_2 ) = a_1 \cdot ( b_1 + c_1 ) + a_2 \cdot ( b_2 + c_2 ) = a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot c_1 + a_2 \cdot b_2 + a_2 \cdot c_2 = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_1 \cdot c_1 + a_2 \cdot c_2 = (a_1,a_2) * (b_1,b_2) + (a_1,a_2) * (c_1,c_2) = <a,b> + <a,c>$$

Wobei * das Skalarprodukt und das normale Mal-Zeichen die Multiplikation im Körper ist. Kann man natürlich einfach auf beliebig-dimensionale Vektoren verallgemeinern.

Comments

Und woher weißt du, dass \(\langle \cdot , \cdot \rangle \) das Standardskalarprodukt ist? Es fehlt noch die Information, wie das Skalarprodukt genau definiert ist. Wie auch schon bei dieser Frage: https://www.mathelounge.de/107046/wie-berechnet-man-skalarprodukt

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Es gibt nicht "das" Skalarprodukt. Es gibt sehr viele: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt Was du hier betrachtest ist ein spezielles Skalarprodukt, das sog. Standardskalarprodukt: https://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt $$<.,.>: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R, \quad (x,y) \mapsto \sum_{i=1}^nx_iy_i $$ auf einem reellem Vektorraum. Das ist kein Skalarprodukt auf komplexen Vektorräumen. Für andere Körper wird der Begriff Skalarprodukt, für gewisse Bilinearformen, auch selten verwandt.

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Ja, richtig. Also vorausgesetzt, es ist das Standardskalarprodukt gemeint..

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Um etwas genauer zu sein: Ein Skalarprodukt ist einfach eine positiv definite, symmetrische Bilinearform.

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@Thilo: Und genau das kannst du grade nicht Voraussetzen. 10001000Nick1 hat ja deswegen extra nachgefragt und es ist rausgekommen, dass das gerade nicht klar ist ob das gemeint ist.

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Klar kann ich das ;) Vorausgesetzt, es ist das Standardskalarprodukt gemeint, könnte meine Antwort dem Autor der Frage helfen. Ansonsten ist sie überflüssig.

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Ah ok danke ich vetstehe jetzt das ich die aufgab3n stellung ganz reinstellen muss

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Also gemeint war eigentlich das skalarprodukt im r hoch 2. Wo ich einfach das lamda im klamer b plus c nehmen musste. Ich musste es einfach umformen. Und dann zeigen das a malb und a mal c das gleiche sind wie das ganze ausgeschrieben berechnet ist.