Konvergenz in Hausdorff-Räumen

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(X, \mathcal{O}_{X}\right) \) ein topologischer Raum, der das Hausdorff-Axiom erfülle. Beweisen Sie, dass Grenzwerte von konvergenten Folgen eindeutig sind.

Problem/Ansatz:

ich brauche Hilfe bei diesen Beweis. Danke

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Schon was selbst versucht?

Answer 1

Sei \(\left(a_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Folge in \(X\) mit Grenzwert \(a\).

Sei \(a'\in X\) mit \(a'\neq a\).

Seien \(U,\ U'\) disjunkte Umgebungen von \(a\) bzw. \(a'\).

Sei \(N\in \mathbb{N}\) so dass

        \(\forall n>N:\ a_n\in U\).

Begründe warum die Objekte, die ich definiert habe, tatsächlich existieren.

Begründe warum

        \(\forall N' \in \mathbb{N}\ \exists n > N:\ a_n\notin U'\).