Q orthogonale Matrix, Beweise Qx = x; QS orthogonal; condQA = cond A

Question

Aufgabe:

Sei Q eine orthogonale Matrix.

a) Auch Q^T ist orthogonal und für alle x gilt:

||Qx||₂ = ||x||₂ = ||Q^Tx||₂

b) Ist S eine orthogonale Matrix, dann ist QS auch orthogonal

c) Für jede reguläre Matrix A gilt:

cond₂(QA) = cond₂ (A)
Problem/Ansatz:

a) ||Qx||₂ = \( \sqrt{(Qx)^T(Qx)} \) = \( \sqrt{x^TQ^TQx} \) = \( \sqrt{x^Tx} \) = ||x||₂

Für ||Q^T||₂ genau gleich.

b) (QS)^T(QS)= S^TQ^TQS = S^TES = S^TS = E

c) cond₂(QA) = ||QA||2 ||(QA)^-1||₂ = ||Q||₂ ||A||₂ ||Q^-1||₂ ||A^-1||₂ = ||A||₂ ||A^-1||₂ = cond₂(A)

Answer 1

Sieht gut aus. Bei a) fehlt allerdings der Nachweis, dass \(Q^T\) ebenfalls orthogonal ist. Bei c) ist noch unklar, warum die Gleichheit der Normen gilt. Die Matrixnorm ist nämlich nur submultiplikativ, das heißt, es ist \(||AB||\leq ||A||||B||\). Warum gilt bei Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix Gleichheit?

Comments

Ah stimmt.

Bei c) weil die ||·||₂ einer orthoganelen Matrix immer 1 ist, richtig?

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Dann steht da nur \(||QA|| \leq ||A|| \). Wie gesagt, die Norm ist nur submultiplikativ.

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||QA|| = sup \( \frac{||QAx||}{||x||} \) = sup \( \frac{||Ax||}{||x||} \) = ||A||
kann man das auch so zeigen?

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Mit \(||x||=1\).