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Aufgabe:

Sei Q eine orthogonale Matrix.

a) Auch QT ist orthogonal und für alle x gilt:

||Qx||2 = ||x||2 = ||QTx||2

b) Ist S eine orthogonale Matrix, dann ist QS auch orthogonal

c) Für jede reguläre Matrix A gilt:

cond2(QA) = cond2 (A)
Problem/Ansatz:

a) ||Qx||2 = \( \sqrt{(Qx)T(Qx)} \) = \( \sqrt{xTQTQx} \) = \( \sqrt{xTx} \) = ||x||2

Für ||QT||2 genau gleich.

b) (QS)T(QS)= STQTQS = STES = STS = E

c) cond2(QA) = ||QA||2 ||(QA)-1||2 = ||Q||2 ||A||2 ||Q-1||2 ||A-1||2 = ||A||2 ||A-1||2 = cond2(A)

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1 Antwort

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Sieht gut aus. Bei a) fehlt allerdings der Nachweis, dass QTQ^T ebenfalls orthogonal ist. Bei c) ist noch unklar, warum die Gleichheit der Normen gilt. Die Matrixnorm ist nämlich nur submultiplikativ, das heißt, es ist ABAB||AB||\leq ||A||||B||. Warum gilt bei Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix Gleichheit?

Avatar von 21 k

Ah stimmt.

Bei c) weil die ||·||2 einer orthoganelen Matrix immer 1 ist, richtig?

Dann steht da nur QAA||QA|| \leq ||A|| . Wie gesagt, die Norm ist nur submultiplikativ.

||QA|| = sup QAxx \frac{||QAx||}{||x||} = sup Axx \frac{||Ax||}{||x||} = ||A||
kann man das auch so zeigen?

Mit x=1||x||=1.

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