Begründe, dass der Grad von f min. 3 ist / Analysis

Question

Aufgabe:

Eine in R definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion f mit erster Ableitungsfunktion f´ und zweiter Ableitungsfunktion hat folgende Eigenschaften:

f hat bei x1 eine Nullstelle

Es gilt f´(x2) = 0 ^ f´´(x2) /= 0

f´ hat ein Minimum an der Stelle x3

Begründe, dass der Grad von f min. 3 ist.

Problem/Ansatz:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Ein Grad sagt ja etwas über die Anzahl der Nullstellen aus. Die Tatsache, dass bereits im geschilderten Verlauf zwei Nullstellen existieren und noch kein Maximum vorhanden ist, besagt, dass noch min. eine weitere Nullstelle kommen wird.

?

Answer 1

Ein Grad sagt ja etwas über die Anzahl der Nullstellen aus.

Jein. Der Grad der Funktion ist die höchste Potenz, deren Koeffizient ungleich 0 ist. Bei Grad 3 muss also $x^3$ vorkommen. Es kann dann maximal 3 reelle Nullstellen geben (das ist vermutlich der Zusammenhang, den du meinst).

Wo siehst du die Existenz von zwei Nullstellen? Das würde außerdem nur sagen, dass der Grad mindestens 2 ist, aber nicht 3.

Laut Eigenschaften, sofern $x_2\neq x_3$, gibt es mindestens zwei Extremstellen, das heißt die erste Ableitung muss welchen Grad haben? Was folgt für $f$?

Comments

Stimmt, danke.

Liege ich folgendermaßen richtig?

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
f`(x) = 3ax² + 2bx +c

Ich bin mir jedoch aufgrund der Formulierung min. nicht sicher

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Wo ist die Begründung, dass der Grad mindestens 3 sein muss. Das geht ja aus deinem Ansatz nicht hervor.

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Die Begründung würde doch mit den Extremwerten erfolgen, dass wir bereits zwei Extrempunkte kennen, es aber möglich ist, dass es noch weitere Punkte gibt, sodass die Funktion mindestens den Grad ax³ besitzen muss

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Da steht nirgends, dass es noch weitere Punkte geben muss. Was ist, wenn es keine weiteren gibt? Kann man dann trotzdem sagen, dass der Grad mindestens 3 sein muss? Wenn ja, warum?

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Weil der Grad per Definition angibt, wie viele Nullstellen es maximal geben darf. Das bedeutet, dass wir bei x⁵ bspw. nicht unbedingt 5, sondern nur 3 Nullstellen haben. Aufgrund der bereits durchgeführten Ableitung muss der Grad min. 3 sein

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Aufgrund der durchgeführten Ableitung ist hier aber nicht der Grund. Ich hätte ja auch $ax^2+bx+c$ ableiten können. Du musst dich präzise ausdrücken, sonst bekommst du definitiv keine volle Punktzahl.

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f´ hat ein Minimum an der Stelle x3

Bitte richtig lesen.