Zeigen Sie: Aus ker p(h)s−1 = ker p(h)s folgt ker p(h)s = ker p(h)s+1

Question

Sei V ein K-Vektorraum, h: V → V linear, m das Minimalpolynom von h. Weiter sei p ∈ K[X] ein irreduzibler Faktor von m und s ∈ N \ {0}. Zeigen Sie:

a) Aus ker p(h)^s−1 = ker p(h)^s folgt ker p(h)^s = ker p(h)^s+1.
b) Aus p^s+1 ∤ m folgt ker p(h)^s = ker p(h)^s+1.
c) Aus ker p(h)^s−1 ⊊ ker p(h)^s folgt p^s | m.

Ich würde mich über jede Hilfe sehr freuen :)

Answer 1

Die Unterräume ker(p(h)ⁱ) ⊂ ker(p(h)ⁱ⁺¹) bilden eine echt aufsteigende Folge, wenn da das Ende U erreicht ist, stimmen alle folgenden Kerne der Potenzen überein (d.h. die Gleichheit kommt erst am Ende). Wenn p(h)^s+1 ∤ m gilt, ist dessen Kern auch U. Und aus ker p(h)^s−1 ⊊ ker p(h)^s folgt, dass U noch nicht erreicht ist.