Funktionsterme zu den Graphen finden und den eingeschlossenen Flächeninhalt berechnen.

Question

Aufgabe:

Finden Sie einen passenden Funktionsterm zu den Graphen und berechnen Sie den Flächeninhalt der gefärbten Fläche.

Comments

Für den Flächeninhalt genügt es die Fläche oberhalb der x-Achse zu ermitteln und das Ergebnis zu verdoppeln.

---

Noch ein Hinweis:

wenn Du die X-Werte der Schnittpunkte und damit die Grenzen des Integrals berechnest, so bekommst Du

\(x_{1,2}=(-1\pm\sqrt{7})/2\) heraus.

Wenn Du das dann nach der Integration einsetzt (ohne auf Näherungswerte auszuweichen), so erhält man im besten Fall für die Fläche \(F\)$$F= -\frac{1}{12}\left(\left(-1+ \sqrt{7}\right)^3-\left(-1 - \sqrt{7}\right)^3\right)-\frac{1}{4}\left(\left(-1+ \sqrt{7}\right)^2-\left(-1 - \sqrt{7}\right)^2\right) + \frac{3}{2}\left(\left(-1+ \sqrt{7}\right)-\left(-1 - \sqrt{7}\right)\right)$$... so einen umfangreichen Ausdruck mit vielen Möglichkeiten sich zu verrechnen.

Wesentlich weniger Aufwand ist folgendes:

https://www.desmos.com/calculator/kyfkhopt90

Sei die Funktion der blaue Parabel \(b\) und die der roten \(r\), So ist die Differenz $$d(x)= b(x)-r(x)$$was wiederum eine Parabel sein muss (der schwarz gestrichelte Graph). Musst Du aber gar nicht ausrechnen! Die Fläche unter dieser Parabel ist die gesuchte Fläche \(F\).

Wenn man nun weiß, dass die Fläche unter so einer abgeschnittenen Parabel immer(!) \(2/3\) der Fläche des umhüllenden Rechtecks ist (lila schattiert), so berechne nur die Höhe dieses Rechtecks $$h = b\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right) - r\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)= b(-0,5)-r(-0,5)= \frac{7}{2}$$und die Breite \(a\) $$a = x_2-x_1 = \sqrt{7}$$und die gesuchte Fläche \(F\) ist dann$$F= \frac{2}{3} \cdot h \cdot a = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \sqrt{7} = \frac{7}{3}\sqrt{7}\approx 6,17$$

Answer 1

Rot: Normalparabel, zwei Einheiten nach unten verschoben.

Blau: Bormalparabel an der x-Achse gespiegelt, dann eine Einheit nach links und zwei Einheiten nach oben verschoben.

Wie lauten dann die Gleichungen?

Answer 2

Hallo,

du kannst jeweils den Scheitelpunkt und einen gut ablesbaren Punkt jeder Parabel bestimmen und dann die Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) notieren.

Der von abakus vorgeschlagene Weg geht aber wahrscheinlich schneller.

Bestimme dann die Schnittpunkte und berechne das Intervall zwischen Ihnen.

Gruß, Silvia

Answer 3

f(x) = -(x + 1)^2 + 2 = - x^2 - 2·x + 1

g(x) = x^2 - 2

Differenzfunktion inkl. Nullstellen

d(x) = f(x) - g(x) = - 2·x^2 - 2·x + 3 = 0 --> x = - 1/2 - √7/2 ∨ x = - 1/2 + √7/2

Stammfunktion

D(x) = -2/3·x^3 - x^2 + 3·x

Flächeninhalt

A = D(- 1/2 + √7/2) - D(- 1/2 - √7/2) = 7/3·√7 = 6.173 FE

Comments

Danke! Ich hatte ausersehen bei meiner Antwort f(x) = -(x + 1)2 + 2 = - x2 - 2·x + 1

g(x) = x2 - 2 falsch ermittelt

---

Das ist nicht schlimm, denn nur aus Fehlern lernt man. Wichtig ist ja nur, dass man später in der Klausur die Fehler nicht macht, die man beim Üben noch gemacht hat und aus denen man gelernt hat.

Answer 4

Hallo,

ich würde die Aufgabe als Steckbriefaufgabe betrachten. D.h. ich würde erst einmal die Funktionen für die beiden Parabeln bestimmen und dann deren Schnittpunkte berechnen.
Die neue Funktion würde ich dann anhand der Grenzen der Schnittpunkte integrieren:

Hier mein Vorgehen:

f(x) = ax^2 + bx + c

f´(x) = 2ax + b

H(-1I2)
(0,5I0)
(-1,5I0)

0 = 0,25a + 0,5b + c

c = -0,25a - 0,5b

0 = 2,25a - 1,5b -0,25a - 0,5b
0 = 2a -2b
2b = 2a I : 2

b = 1a

2 = -2a + a

2 = -1a
-2 = a

--> b = -2
    a = -2
    c = 1,5

--> f(x) = -2x^2 -2x + 1,5

h(x) = ax^2 + bx + c

´(x) = 2ax + b

H(0I-2)
(1,5I0)
(-1,5I0)

0 = 2,25a + 1,5b + c

c = -2,25a - 1,5b

0 = -2,25a - 1,5b - 2,25a - 1,5b

0 = -4,5a -3b I +4,5a I :(-3)
-1,5 = b

0 = -4a + 3
3/4 = a

--> h(x) = 3/4x^2 - 1,5x - 3,1875

f(x) = h(x)

-2x^2 -2x + 1,5 = 3/4x^2 - 1,5x - 3,1875

0= x^2 + 0,5/2,75x -4,6875/2,75

x1/x2 = pq-Formel

x2

Integral von (^2 + 0,5/2,75x -4,6875/2,75) dx

x1

Dann hast Du die Fläche berechnet, jedoch muss in meiner Rechnung ein Fehler sein, glaube ich

Comments

Ja, beide Funktionsgleichungen sind falsch. Es handelt sich um verschobene /gespiegelte Normalparabeln. Der Faktor a ist jeweils 1 bzw. -1.

Dein angebliches (0,5|0) stimmt schon mal nicht. Der Punkt ist eher in der Nähe von (aber auch nicht genau) (0,4|0).

---

Danke, stimmt. Ja ist mir dann auch aufgefallen, sorry