Bestimmung des Grenzwertes (x^2+x-2)/(x^2-1) für x gegen 1.

Question

die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie den Grenzwert von (x^2+x-2)/(x^2-1), aber stellen Sie den Zähler vorher auf die Form: (x-a) (x-b) um. Ich habe kein Problem mit Grenzwertberechnungen wenn der Nenner eine geringere Potenz hat als der Zähler, aber hier komm ich nicht weiter. Würde mich über schnelle Hilfe sehr freuen :)

Comments

Welcher grenzwert soll denn genau bestimmt werden? Der gegen unendlich, der gegen 1 oder der gegen -1 oder noch ein anderer?

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oh sry, hab ich vergessen. der gegen 1

Answer 1

(x^2 + x - 2)/(x^2 - 1)

= (x - 1)·(x + 2) / ((x + 1)·(x - 1))

Stetige Ergänzung

= (x + 2) / (x + 1)

= (x + 1 + 1) / (x + 1)

= 1 + 1/(x + 1)

Answer 2

 die Aufgabe hat mich etwas beschäftigt. Zunächst ist die Fragestellung völlig
ungenau. Welcher Limes ?  Gemeint ist  bei x = ± 1 . Bei

f ( x ) = ( x² + x - 2 ) / ( x² -1 )

 kommt es in beiden Fällen zu einer Division durch 0. Normalerweise nicht definiert.

 Es sei denn der Zähler wäre auch 0, dann hätten wir 0 / 0 und könnten l´Hospital
anwenden. Bei x = 1 haben wir diesen Fall.

f ( x ) = ( x² + x - 2 ) / ( x² -1 ) : l ´Hospital : ( 2 * x + 1 ) / (2 * x ) für x = 1 ergibt
sich 3 / 2. Also f ( 1 ) = 3 /2.

Für x = -1 müssen wir den links- und rechtsseitigen Grenzwert betrachten
lim x -> -1(-) : ( x² + x - 2 ) / ( x² -1 ) = -2 / 0(+) = - ∞
lim x -> -1(+) : ( x² + x - 2 ) / ( x² -1 ) = -2 / 0(-) =  ∞

Def-Bereich : ℝ \  { -1 }

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mfg Georg