Optimierung mit Nebenbedingungen

Question

Hey,

ich habe hier ein LGS und verstehe nicht was ich falsch gemacht habe.

Es geht hier darum die optimale Lösung herauszufinden. Danke.

Answer 1

Habt ihr nicht besprochen, wie man das Maximum unter Nebenbedingungen findet? Dann stell die Bedingungen mal grafisch dar und zeichne die Gerade 3x + 2y = c für verschiedene c ∈ R ein.

Hier die Gerade nur mal im Maximum gezeichnet.

Comments

Das ganze nennt sich Lineare Optimierung. Unter dem Stichwort findest du also Material, wenn du es suchst.

https://studyflix.de/mathematik/lineare-optimierung-318

Answer 2

Du darfst in Ungleichungssystemen keine Ungleichungen voneinander subtrahieren. Ein Beispiel:

(1)  7<10

(2)   5< 9

Beide Ungleichungen gelten. Die Differenz (1)-(2) wäre

7-5 < 10-9, was allerdings nicht stimmt.

In der Abbildung siehst du das durch die Nebenbedingungen eingegrenzte Gebiet

sowie einige Gerade der Schar 3x+2y=c (von innen nach außen für c=25, c=30, c=35, ...)

Je weiter die Geraden nach außen wandern, um so kleiner ist der Bereich der Gerade, der sich im Gebiet befindet. Wenn c zu groß wird, liegen die Geraden komplett außerhalb.

Wenn man eine solche Gerade parallel verschiebt, ist die Ecke (7|8) der letzte Punkt des Gebiets, der gerade noch von einer Gerade der Schar getroffen wird.

Answer 3

Für den Fall, dass man das nicht grafisch lösen soll, macht man das mit dem Simplex-Verfahren.

Siehe https://studyflix.de/mathematik/primaler-simplex-744

Schau da bitte in deinen Unterlagen nach, wie ihr das konkret gemacht habt. Da sollte es mindestens auch ein Beispiel zu geben.

Answer 4

Ich nehme an, das eine rechnerische Behandlung ansteht - die zeichnerischen Verfahren sind ja dargestellt. Man macht aus die Ungleichungen Gleichungen in dem man sog. Schlupfvariablen einführt. In eine Matirx gebracht liest sich das LGS dann

\(\left(\begin{array}{rrrrrr}2&1&1&0&0&22\\1&2&0&1&0&23\\4&1&0&0&1&40\\-3&-2&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

dann wendet man auf das Tableau das Simplex-Verfahren (max Funktion unten negativ)  an und beseitigt die negativen Koeffizienten der Zielfunktion

1/3, 2/1, 5/2.Spalte/Zeile

\(\left(\begin{array}{rrrrrr}0&1&-0.333&0.667&0&8\\0&0&-2.333&0.667&1&4\\1&0&0.667&-0.333&0&7\\0&0&1.333&0.333&0&37\\\end{array}\right)\)

Die 1. und 3. Gleichung ergeben dann max 37 für x2=8 und x1=7.