Zeigen Sie, dass dann \lambda=0 gilt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Eine lineare Abbildung f: V->V nennt man nilpotent, wenn es eine Zahl r>0 mit f^{r}=0 gibt. Analog nennt man eine Matrix A nilpotent, wenn es eine Zahl r>0 mit A^{r}=0 gibt.
Sei A in Matnxn(K) eine nilpotente Matrix und K ein Körper. Sei lambda in K ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass dann lambda=0 gilt.
Hinweis: Sei v \in K^{n} ein Eigenvektor zu lambda. Dann gilt Av=lambdav. Was können Sie für A^{2} v, A^{3} v, ... folgern?

Answer 1

Wenn

A·v = λ·v

gilt, dann ist

A²·v = A·A·v = A·λ·v = λ²·v
A³·v = A²·A·v = A·λ²·v = λ³·v
A^r·v = λ^r·v

Wenn nun ein r > 0 gibt, sodass A^r = 0 ist, dann muss λ^r = 0 sein und das funktioniert nur, wenn λ = 0 gilt.