Zeigen Sie, dass L ein affiner Unterraum von R^n ist (Least-Squares-Problem)

Question

Aufgabe:

Seien A ∈ ℝ^mxn und b ∈ ℝ^m mit m > n. Dann gilt für das Least-Squares-Problem (LSP)

min_x∈ℝ||Ax-b||₂ = ||Ax*-b||₂,

a) ..dass die Lösungsmenge L = { x ∈ℝⁿ : A^TAx = A^Tb} ein affiner Unterraum von ℝⁿ ist, d.h. für x₁, x₂ ∈ L gilt (1-λ)x₁ + λx₂ ∈ L für alle λ ∈ ℝ. Weiterhin gilt Ax₁ = Ax₂ für alle x₁, x₂.

b) ..dass das LSP genau eine eindeutige Lösung hat, wenn rk(A) = n ist.

Problem/Ansatz:

a) Es gilt: A^TAx₁ = A^Tb und A^TAx₂ = A^Tb

(1-λ)A^TAx₁ + λA^TAx₂ = (1-λ)A^Tb + λA^Tb = (1-λ+λ)A^Tb = A^Tb

b) rk = n
A^TAx₁ = A^TAx₂
(A^TA)^-1A^TAx₁ = (A^TA)^-1 A^TAx₂ ⇔x₁ = x₂

Comments

Nach der mir bekannten Definition des affinen Raums ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ein affiner Raum; A^TA ist eine nxn-Matrix, die Lösung ist eindeutig bestimmte, wenn rg(A) = rg(ATA) = n ist.