Anwendung von Logarithmusgesetzen

Question

Hallo, verstehe folgende Aufgaben nicht:

1) \( 2^{ln(2)} \) * \( 2^{ln\frac{1}{2}} \) = \( 2^{ln2} \) * \( 2^{-ln(2)} \)

Frage: Wie kommt man auf \( 2^{-ln(2)} \) ?

2) log4(9) = \( \frac{log2(9)}{log2(4)} \)

Frage: Wir kommt man auf \( \frac{log2(9)}{log2(4)} \) ?

Danke

Answer 1

1. 1/2 = 1/2^1 = 2^-1

ln(a^b) = b*ln(a)

In diesem Fall gilt: b= -1

-1*ln(2) = -ln(2)

2. Es wurde ein Basiswechsel vorgenommen:

loga(b) = logc(b)/logc(a)

Answer 2

Aloha :)

Für Logarithmen gilt stets \(\pink{\log(a^b)=b\log(a)}\), dabei habe ich bewusse keine Basis an \(\log\) geschrieben, weil dies für jede mögliche Basis gilt.

zu 1) Wende die pinke Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus \(\ln\) an:$$2^{\ln\left(\frac12\right)}=2^{\ln\left(2^{\pink{-1}}\right)}=2^{(\pink{-1})\ln(2)}=2^{-\ln(2)}$$

zu 2) Verwende die pinkte Gleichung mit dem Logarithmus zur Basis \(2\) und nutze zusätzlich dass \(\log_b(x)\) die Umkehrfunktion zu \(b^x\) ist, sodass sie ihre Wirkungen gegenseitig kompensieren:$$a=b^{\log_b(a)}\quad\big|\log_2(\cdots)$$$$\log_2(a)=\log_2\left(b^{\log_b(a)}\right)\quad\big|\text{Verwende: }\log_2(a^b)=b\log_2(a)$$$$\log_2(a)=\log_b(a)\log_2(b)\quad\big|\div\log_2(b)$$$$\frac{\log_2(a)}{\log_2(b)}=\log_b(a)$$