Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig geprüftes Gerät ein fehlerhaftes Oberteil und Unterteil hat

Question

Aufgabe:

Ein Gerät besteht aus einem Unterteil und einem Oberteil. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät fehlerfrei ist, beträgt 85%. Die Wahscheinlichkeit eines fehlerhaften Unterteils ist 12%, eines fehlerhaften Oberteils 8%.

Zu berechnen ist die Wahscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig geprüftes Gerät sowohl ein fehlerhaftes Oberteil als auch ein fehlerhaftes Unterteil hat.

Answer 1

Erstmal musst du dir darüber klar werden, was überhaupt die Verzweigungen des Baumdiagramms und was sozusagen die "Endzustände" sein sollen.

 

"Das Gerät ist fehlerfrei" ist ohne Frage ein Endzustand - denn wenn es fehlerfrei ist, gibt es ja überhaupt keine Entscheidung mehr.

 

Sinnvolle Entscheidungsstufen sind

a) Ist das Unterteil fehlerhaft?
b) Ist das Oberteil fehlerhaft?

 

Wähle z.B. als erste Entscheidung a), dann folgt für eine erste Skizze des Baumdiagramms:

Du weißt außerdem, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nichts kaputt ist, 85% beträgt, also muss am untersten rechten Ast 85% rauskommen, wobei sich bei mehreren Zufallsentscheidungen die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren: für die Wahrscheinlichkeit P_¬A(¬B) (das bedeutet in Worten: die Wahrscheinlichkeit, dass B nicht eintrifft unter der Voraussatzung, dass A nicht eingetroffen ist), die am unteren rechtesten Ast steht muss

88%*P_¬A(¬B) = 85% gelten,

also: P_¬A(¬B) = 85%/88% = 96,6%

Irgendeine Entscheidung muss an jedem Knoten getroffen werden, also folgt für die Wahrscheinlichkeit des zweiten Astes von rechts:
P_¬A(B)=100%-P_¬A(¬B)=3,4%

Das führt zu einem verbesserten Baumdiagramm:

Du weißt außerdem, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass das Oberteil fehlerhaft ist, 8% beträgt.

Die einzigen Endfälle, bei denen das Oberteil kaputt ist, sind aber "alles ist kaputt" und "nur Oberteil", also muss

8% = P("alles ist kaputt") + P("nur Oberteil") = P("alles ist kaputt") + 3%

=> P("alles ist kaputt") = 5%

 

Und das wars auch schon. Zur Probe kann man das Baumdiagramm noch vollständig ausfüllen - wenn alles richtig ist, muss die Summe aller Endergebnisse 100% ergeben, denn irgendetwas liegt ja vor.

Die Wahrscheinlichkeit am linkesten Ast, muss multipliziert mit 12% die Wahrscheinlichkeit P("alles ist kaputt")=5% ergeben.

=> P("linker Ast") = 5%/12%=41,7%

Daraus folgt P("zweiter Ast von links") = 100%-41,7% = 58,3%, ferner P("nur Unterteil") = 12%*58,3% = 7%.

Das gesamte Baumdiagramm sieht also so aus:

Zählt man alle Endwahrscheinlichkeiten zusammen, so erkennt man:

5%+7%+3%+85% = 100%

also war die Rechnung richtig.