Multivariate Optimierung - der Extremwertsatz

Question

Die Aufgabe lautet: Es sei f(x,y) = 4x - 2x² - 2y², S= {(x,y): x²+y² ≤25}.

(a) Berechnen sie f1'(x,y) und f2'(x,y) und bestimmen Sie dann die stationären Punkte von f.

(b) Bestimen Sie die Extempunkte von f in S.

Nun (a) ging noch ganz einfach und ich erhielt den Punkt (1,0) mit f(1,0)=2, was auch mit den Lösungen übereinstimmt.

Nun bei (b) erhalte ich etwas anderes, respektiv bin ich mir gar nicht sicher was genau ich machen muss (unsere Theorie ist für mich unverständlich).

Meine Lösung:

Der Rand von S ist der Kreis x²+y² ≤25

Entlang des Randes von f gilt:

f(x,y) = 4x - 2x²-2y² nun löse ich S nach x² auf und setze es in f(x,y) ein. Somit erhalte ich: 4x-50

Bis hier scheint mein Lösungsweg noch richtig zu sein

Mein weiterer Schritt war: ich erhalte somit x=12.5

(ich verstehe, dass dies falsch sit weil ich f(x,y) einfach gleich 0 gesetzt habe. Jedoch verstehe ich nicht was genau in den Lösungen gemacht wurde)

Die Lösungen sagen:

Ein Maximum und ein Minimum existieren nach dem Extremwertsatz. Auf dem Rand ist der Funktionswert 4x-50 mit x∈[-5, 5]. So ist das Maximum auf dem Rand -30 für x=5 und das Minimum ist -70 für x= -5.

 

Ich hoffe jemand kann mir helfen

Answer 1

Entlang des Randes von f gilt:

f(x,y) = 4x - 2x²-2y² nun löse ich S nach x² auf und setze es in f(x,y) ein. Somit erhalte ich: 4x-50

Bis hier scheint mein Lösungsweg noch richtig zu sein

Nicht ganz.
Du willst ja eine der Variablen aus f ( x , y ) eliminieren. Wenn du x eliminieren willst, dann musst du nach x auflösen (das bedeutet: du stellst x als Funktion von y dar) und das Ergebnis in f ( x , y ) einsetzen. Dann aber darf in f kein x mehr auftreten, denn alle x müssen durch einen entsprechenden Ausdruck, der nur noch y enthält, ersetzt werden, auch das x in 4 x.
f hängt dann also nur noch von y ab. Das Ergebnis kann daher nicht f ( x ) = 4 x - 50 sein.

Tatsächlich wurde vorliegend S nach y ² aufgelöst:

y ² = 25 - x ²

und dieser Ausdruck  wurde in f ( x, y ) = 4 x - 2 x ² - 2 y ² für y ² eingesetzt, wobei sich eine Funktion ergibt, die nur noch von x abhängt:

f ( x ) = 4 x - 2 x ² - 2 ( 25 - x ² ) = 4 x - 50

 

Diese Funktion liefert die Funktionswerte von f ( x , y ) auf dem Rand von S.

Da x wegen x ² + y ² ≤  25 nur Werte zwischen - 5 und 5 annehmen kann, gilt also auf dem Rand von S:

Minimum: f ( - 5 ) = - 70

Maximum: f ( 5 ) = - 30

Comments

Vielen Dank :) Ich verstehe nun fast alles ;) was mir noch nicht klar ist: in den Lösungen steht das Minimum -70 wäre bei (-5, 0). Wie kommt man auf den y-Wert?

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Der y-Wert ergibt sich aus der Gleichung des Randes von S. Dort gilt:

x ² + y ² = 25

<=>  y ² = 25 - x ² 

und daraus folgt für x = - 5 :

y = √ 0 = 0

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Für nichts :- )