Monotonie einer Folge zeigen

Question

ich hätte eine Frage zur Monotonie von Folgen und wie dies gezeigt wird.

Es sei eine folge \( (a_n)_{n=1}^{\infty}\subseteq \mathbb{R} \) konvergent und eine Folge

\( b_n = \text{inf}\{a_k;k\in\mathbb{N}_n\}\) mit \(n\in \mathbb{N}\). Zu zeigen ist die Monotonie von \(b_n\).

Ansatz:

Klar ist, dass \(b_n\) monoton steigend ist, da \(b_n\) jeweils die größte untere Schranke aller Folgeglieder \(a_k\) mit \(k\geq n\) ist und somit \(b_n\) für n = 1 den kleinsten Wert von der folge \(a_n\) annimmt und im Unendlichen gegen den Grenzwert von \(a_n\) konvergiert.

Es muss also \(b_{n+1}\geq b_n\) gezeigt werden

Kann dort vielleicht jemand weiter helfen und einen Ansatz geben?

Gruß

Smitty

Comments

Ich nehme an, N_n sind die natürlichen Zahlen größer gleich n? Nutze die Teilmengenbeziehung dieser Mengen aus.

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Also alle Elemente \(a_k\), die in \(b_{n+1}\) enthalten sind, sind auch in \(b_n\) enthalten. In \(b_n\) ist zusätzlich noch \(a_n\) enthalten. Wenn \(a_n < b_{n+1}\), dann ist \(b_{n+1} > b_{n}\) und wenn \(a_{n} \geq b_{n+1}\), dann ist \(b_{n+1}=b_{n}\), also folgt dann \(b_{n+1}\geq b_{n}\).
Meintest du das so?

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Ja, so kann ma das sagen. Allerdings musst Du die Menge anders bezeichnen als die infima b_n

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Meinst du am Schluss, dass folgt \(b_{k+1}\geq b_k\) oder was meinst du damit?

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Du schreibst "Elemente a_k, die in b_(n+1) enthalten sind". b_(n+1) ist eine Zahl, aber nur Mengen können Elemente enthalten.

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Aah okay, vielen Dank für die Hilfe :)