Erzeugendensysteme des R^n?

Question

Aufgabe:

Es seien e1 := (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e2 := (0, 1, 0, . . . , 0, 0), . . . , en := (0, 0, 0, . . . , 0, 1) die Standardvektoren

des R^n. Welche der folgenden Teilmengen des R^n

sind Erzeugendensysteme?

i) (en, en−1, en−2, . . . , e2, e1, e1 + e2 + · · · + en),

ii) (e1 + e2, e2 + e3, . . . , en−1 + en),

iii) (e1, e2, e1 + e2 + e3 + e4, e5) im Falle n = 5,

iv) (e1 + e2 + e3, e2 + e3 + e4, e3 + e4 + e5, e2 + 2e5, e4) im Falle n = 5.

Problem/Ansatz:

Bitte um Erklärung eines oder zweier Beispiele, damit ich weiß, wie ich die anderen zu erledigen habe:)

Comments

Ein Teil dieser Fragen wurde kürzlich hier beantwortet, musst Du mal weiterblättern....

Answer 1

Ein Erzeugendensystem liegt vor, wenn man mit Linearkombinationen

der vorgegebenen Vektoren alle Elemente des R^n darstellen kann.

Also klassisch mit e₁, e₂,...,e_n.

Bei i) etwa so:

\( \begin{pmatrix} a_1\\\dots\\a_n \end{pmatrix} = a_ne_n+a_{n-1}e_{n-1}+\dots+ a_1e_1+0(e_1+\dots+ e_n)  \)

Bei iii) kann man z.B. 2e3 + e4 nicht erzeugen, also ist das kein Erz.system.

Comments

Vielen Dank schonmal für Ihre Hilfe!

Ich komme auf den Schluss, dass nur i zutreffend ist?