Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Erzeugendensysteme

Question

Aufgabe: Seien V,W Vektorräume, f:V→W linear, A⊆V. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

(1) Wenn A linear unabhängig ist, dann auch f(A).

(2) Wenn f(A) linear unabhängig, dann auch A.

(3) wenn ⟨A⟩=V, dann gilt auch ⟨f(A)⟩=W.

(4) Wenn ⟨f(A)⟩=W, dann gilt auch ⟨A⟩=V.

Teilaufgabe 2: Untersuchen Sie welche der Aussagen in Aufgabe 3, die nicht allgemein gelten, unter der Extraanahme, dass f Injektion oder surjektiv ist, allgemein gültig sind.

Problem/Ansatz:

Ich bin der Meinung, dass (1) und (2) falsch sind, habe ich durch ein Gegenbeispiel bewiesen. Wenn ich da falsch liege bitte berichtigen. :) (3) ist richtig, aufgrund von Linearkombination.

Bei (4) habe ich leider keinen Ansatz. Kann mir da bitte einer helfen.

Außerdem verstehe ich bei Teilaufgabe 2 überhaupt nichts, auch da wäre etwas Hilfe sehr willkommen. Dankeschön schon mal im Voraus.

Comments

(1) ist falsch, z.B. Nullabbildung, gilt aber falls f injektiv

(2) ist richtig.

(3) ist falsch, gilt nur falls f surjektiv ist

(4) ist auch falsch, Überlege dir mal IR^2 -> IR, (a,b) |-> a

da ist für A = ( (1,0) ) das Bild f(A) = ( (1) ). Offensichtlich gilt <f(A)> = <(1)> = IR, aber <A> ist nicht IR^2...

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Warum ist 3. falsch?

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ZB IR -> IR², (x) ↦ (x,0)

A=<(1)> dann ist

IR² ≠ { (x,0) | x in IR } = f[A]

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Danke. Habe es raus, aber verstehe noch nicht so ganz, weshalb (3) surjektiv sein soll.

(4) müsste aber wieder objektiv sein, oder?

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3 soll nicht surjektiv sein. 3 gilt wenn f surjektiv ist, sonst nicht.

Was du mit objektiv meinst erschließt sich mir nicht.

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Und wie weiße ich nach, dass 3 gilt wenn f surjektiv ist?

Ich meine injektiv und nicht objektiv. Tut mir leid.

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f ist linear, d.h. <f(A)>=f(<A>), wenn <A>=V steht da f(V) = W, das is eben äquivalent zur Surjektivität von f

"Die Elemente vom Definitionsbereich V treffen alle Elemente des Wertebereichs W"

oder

"Jedes Element im Wertebereich W hat ein Urbild im Definitionsbereich V"

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Zur 4. Ich hab dir oben ein Bsp gegeben, dass es für nicht-Injektive Funktionen nicht gilt.

Für injektive Funktionen gilt die Aussage, aber tatsächlich.

Wenn ⟨f(A)⟩=W, dann ist f nämlich auch surjektiv, imsbesondere dann ein Isomorphismus (bijektiv)

und es ist <f(A)>=f(<A>) = W <=> <A> = f^{-1}(W)= V