Zeigen Sie für alle n ∈ ℕ :

Question

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1. Zeigen Sie für alle \( n \in \mathbb{N} \) :
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1} . \)
2. Stellen Sie anhand von Beispielrechnungen eine Vermutung für eine Formel für die Summe der ersten \( n \) ungeraden Zahlen auf. Beweisen Sie Ihre Vermutung per vollständiger Induktion.
Hinweis: Ungerade Zahlen sind von der Form \( 2 n+1 \) für \( n \in \mathbb{N}_{0} \).

Was wäre hier die Lösung?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

1) Diese Formel kannst du direkt ausrechnen:$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(\pink k+1)\pink{-k}}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{(k+1)}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}\right)$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1k-\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}\frac{1}{(k\pink{-1})+1}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1k-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}=\left(\pink{\frac11}+\sum\limits_{k=\pink2}^{n}\frac1k\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{\green n}\frac{1}{k}+\green{\frac{1}{n+1}}\right)$$$$\phantom{S_n}=\pink1-\green{\frac{1}{n+1}}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\quad\checkmark$$

2) Um eine Formel für die Summe der ersten ungeraden Zahlen zu finden, ordnen wir diese auf besondere Weise geometrisch an:$$\begin{array}{c}\pink\bullet\end{array}\qquad\begin{array}{c}\bullet & \pink\bullet\\\pink\bullet & \pink\bullet\end{array}\qquad\begin{array}{c}\bullet & \bullet & \pink\bullet\\\bullet & \bullet & \pink\bullet\\\pink\bullet & \pink\bullet & \pink\bullet\end{array}\qquad\begin{array}{c}\bullet & \bullet & \bullet & \pink\bullet\\\bullet & \bullet & \bullet & \pink\bullet\\\bullet & \bullet & \bullet & \pink\bullet\\\pink\bullet & \pink\bullet & \pink\bullet & \pink\bullet\end{array}\qquad\begin{array}{c}\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \pink\bullet\\\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \pink\bullet\\\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \pink\bullet\\\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \pink\bullet\\\pink\bullet & \pink\bullet & \pink\bullet & \pink\bullet & \pink\bullet\end{array}$$$$\pink1\qquad\quad\;1+\pink3\qquad\quad\;\;4+\pink5\qquad\qquad\quad9+\pink7\qquad\qquad\qquad\;\;16+\pink9$$

Anscheinend ist die Summe der ersten \(n\) ungeraden Zahlen gleich \(n^2\).

Das können wir in folgende Formel pressen:$$\sum\limits_{k=1}^n(2n-1)=n^2$$

Zum Beweis durch vollständige Induktion brauchst du nur unser geometrisches Bild formal aufzuschreiben. Die Verankerung bei \(n=1\) ist klar, denn beide Seiten ergeben dann ja den Wert \(1\). Im Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) kannst du wie folgt argumentieren:$$\sum\limits_{k=1}^{n\pink{+1}}(2n-1)=\sum\limits_{k=1}^n(2n-1)+\pink{2(n+1)-1}\stackrel{(\text{Ind.Vor.)}}{=}n^2+\pink{2n+1}=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Answer 2

Es gibt nicht die Lösung und Sinn der Aufgabe ist nicht Lösungen nachzulesen, sondern selbst zu finden.

Eine Möglichkeit wäre mit vollständiger Induktion. Eine andere wäre den Bruch zu zerlegen \(\frac1{k(k+1)}=\frac{A}k+\frac{B}{k+1}\) und dann in eine Teleskopsumme umzuschreiben. Gibt sicher noch weitere Möglichkeiten.