Binomialkoeffizienten beweise dass für alle x,y folgendes gilt (binomischen Lehrsatz)

Question

Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!

Die Aufgabe:

Fur eine relle Zahl α und eine naturliche Zahl k werde der allgemeine Binomialkoeffizient wie folgt definiert

Mit a über 0 = 1

a)
Beweisen Sie fur alle ¨ α ∈ R und alle k ∈ N, dass gilt:

b)

Man beweise fur alle reellen Zahlen x, y und fur alle n ∈ N, dass gilt .

Mein Ansatz:

a)
Zu zeigen: gillt für alle   α∈R und  k∈N

$$ \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)...(\alpha - k + 1)}{k!} $$

Um dies zu beweisen, können wir die Definition des Binomialkoeffizienten verwenden: Beginnen wir mit der rechten Seite der Gleichung:

$$ \binom{\alpha - 1}{k - 1} + \binom{\alpha - 1}{k} = \frac{(\alpha - 1)!}{(k - 1)!(\alpha - k)!} + \frac{(\alpha - 1)!}{k!(\alpha - k - 1)!} $$

Anschliesent führt man die Terme zusammen

$$ = \frac{\alpha(\alpha - 1)!}{k!(\alpha - k)!} = \binom{\alpha}{k} $$

Das beweist die Behauptung für (a)

(b) Der binomische Lehrsatz besagt, dass

$$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $$

weiter kam ich nicht, ich habe es auch anshcließend über induktion versucht aber nicht geschafft und brauche hier ammeisten hilfe.

$$ \binom{x + y}{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{x}{n - k} \binom{y}{k} $$

Comments

Bei b) hilft die binomische Reihe - wenn Ihr die besprochen habt

Answer 1

Zu zeigen: gillt für alle   α∈R und  k∈N $$ \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)...(\alpha - k + 1)}{k!} $$

Nein, das ist NICHT zu zeigen, denn das ist lauft Aufgabentext so DEFINIERT.

Dann willst die die Definition \( \binom{\alpha - 1}{k - 1} = \frac{(\alpha - 1)!}{(k - 1)!(\alpha - k)!}  \) bzw. \( \ \binom{\alpha - 1}{k} =  \frac{(\alpha - 1)!}{k!(\alpha - k - 1)!} \) verwenden, obwohl diese nur für natürliche Zahlen α so gilt.

Comments

mein fehler habe mich dann vertippt.
Wäre aber die umformung für den beweis richtig?

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und hättest du vlt irgendeinen tipp für nr b komme da nicht weiter.

danke im voraus

Answer 2

Falls ihr schon Taylor-/Potenzreihen hattet:

\((1+t)^x = \sum_{k=0}^\infty\binom xk t^k\) für \(|x| <1\)

\((1+t)^y = \sum_{k=0}^\infty\binom yk t^k\) für \(|y| <1\)

\((1+t)^{x+y} = \sum_{k=0}^\infty\binom {x+y}k t^k\) für \(|x+y| <1\)

Nun gilt

\((1+t)^x\cdot (1+t)^y = (1+t)^{x+y}\)

Schreibe die linke Seite als Cauchy-Produkt

\(\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \binom{x}{n-k}\binom yk\right) t^n\)

Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite gibt die behauptete Gleichung.

Falls ihr das noch nicht gehabt habt, kannst du immer noch eine Induktion über \(n\) versuchen, um deine Gleichung zu beweisen.