Integration durch Substitution

Question

Hier finde ich keinen Ansatz. Der Arcsin stört.

\( \int \sqrt{\frac{\arcsin x}{1-x^{2}} d x} \)

Answer 1

Hi,

setze damit an, dass Du u = arcsin(x) ersetzt. Dann ergibt sich nämlich direkt du = 1/√(1-x^2) dx

Das eingesetzt führt direkt zum vereinfachten Integral der Gestalt:

∫√u du

Das integrieren und resubstituieren:

= 2/3*u^{3/2} + c = 2/3*arcsin(x)^{3/2} + c


Grüße

Comments

Oh je, ich verusche mir das gerade anhand eines Skriptes anzueignen.So ganz komm ich da nicht mit.

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Wenn Du mir sagst, wo Du hängen bleibst, kann ich es vielleicht nochmals mit anderen Worten versuchen ;).

Die einzgie "Schwierigkeit" ist hier eigetnlich nur zu wissen/erkennen, dass die Ableitung des arcsin(x) eben 1/√(1-x²) ist^^.

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Dann habe ich Integral von Wurzel(arcsin(x))*1/√(1-x²) dx

Wie soll ich das Integrieren?

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hmm? Das ist doch das Ursprungsintegral.

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Ich hab dies hier genommen ∫√u du

ist ja

√arcsinx * √(1-x²)

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^^ Das ist richtig. Das bringt aber nichts. Wir hatten ja das gerade zu erstgenannten Integral umgeformt, damit wir leichter integrieren können. Integriere das also nun.

Erst danach resubstituiere ;).

Integriere mal

∫√x dx

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2/3 x^3/2

^{Klingeling. Oh ja...}

^{Aber wo ist nun}

du = 1/√(1-x²)

hingekommen und der Nenner aus der Eingangsformel?

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Die haben sich weggekürzt.

 

u = arcsin(x) ersetzt. Dann ergibt sich nämlich direkt du = 1/√(1-x²) dx

Da wir ja dx durch du ersetzen wollen, müssen wir nach dx umformen.

dx = √(1-x²)du

 

Ui wie schön -> das kürzt sich^^.