Aloha :)
Gesucht ist der Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe:$$p(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n3^n}=\sum\limits_{n=1\pink{-1}}^\infty\frac{x^{(n\pink{+1})-1}}{(n\pink{+1})3^{n\pink{+1}}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\underbrace{\frac{1}{(n+1)3^{n+1}}}_{\eqqcolon a_n}\,x^n$$
Diesen bestimmen wir als Grenzwert von$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+2)3^{n+2}}{(n+1)3^{n+1}}\right|=3\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=3$$Die Reihe konvergiert daher für \(|x|<3\).
An den Rändern \(x=\pm3\) des Konvergenzradius wird die Konvergenz nicht automatisch garantiert. Daher prüfen wir sie expliziit nach:$$p(3)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3^{n-1}}{n3^n}=\frac13\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n\to\infty$$$$p(-3)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-3)^{n-1}}{n3^n}=\frac{1}{(-3)}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-3)^n}{n\,3^n}=-\frac13\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}=\frac13\ln(2)$$
Falls du die Potenzreihe für die Logarithmusfunktion nicht auswendig kennst, erkennst du im zweiten Fall, dass \(\frac1n\) eine monoton fallende Nullfolge ist, sodass das Leibniz-Kriterium für die Konvergenz alternierender Reihen erfüllt ist.
Die Summe konvergiert also für:\(\quad -3\le x<3\).
